Démonstration sur les nombres complexes

[Mimi_69]

Bonsoir à tous,

Alors voila,
Soit j le nombre complexe e^(2ipi/3).
Démontrer les propriétés suivantes de j :

1- j=(-1/2)+i(rac3/2)
2- j^3=1
3- 1+j+j^2=0
4- -j^2=j

Réponses :

1- j= cos (2pi/3)+isin (2pi/3)
= (-1/2)+i (rac3/2)

2- (e^2ipi/3)^3=1
e^2ipi=1
j=1

3- J'ai utilisé le descriminant et j'ai obtenu x1=(-1/2)-i(rac3/2)
x2=(-1/2)+i(rac3/2)
Mais j'ai des doutes, je démontre rien du tout.

4- Je ne vois pas comment on peut faire.

J'ai besoin de votre aide.
Merci d'avance et bonne année à tous.

[XENSECP]

Lol ! C'est simple tu as les équations, calcule j et j^2 et vérifie 3 et 4 :)

[Huppasacee]

Bonjour et bonne année à toi aussi

1- j= cos (2pi/3)+isin (2pi/3)
= (-1/2)+i (rac3/2)

OK

2- (e^2ipi/3)^3=1
e^2ipi=1
j=1

OK mais explique le passage entre la première ligne et la deuxième ( propriété de la fonction exponentielle

1+j+j^2=0

une identité à connaître

a^n - 1 =(a - 1 ) ( a^(n-1) + a^(n-2) + ...... + a + 1)

donc si a^n - 1 = 0
avec a différent de 1
alors
( a^(n-1) + a^(n-2) + ...... + a + 1) = 0


pour la 4 , c'est plutôt :

conjugué de j = j² car l'égalitéque tu as postée contredit la question précédente

on a |j| = 1

et j^3 = j * j² = 1
or as tu une formule concernant z et conjugué de z pour trouver |z|² ?