Démonstration sur les limites des suite.

[fpaco]

Bonsoir, j'aurai une petite question à propos d'une démonstration que j'ai vu en cour.
Cependant je ne la comprend pas très bien. Pourriez vous m'aider svp .
Voici de quoi il est question :

Soit une suite (Un) a termes positifs convergeant vers l supérieur ou égale à 0
Si la suite (Un) tend vers l , alors la suite ((Un)^(1/2)) converge vers l^(1/2)

Preuve : Comme (Un converge vers l, il existe un naturel N tel que pour tout n supérieur ou égale à N,

lUn- l l inférieur ou égale à E
donc l (Un^(1/2))^2 - (l^(1/2))^2 l inférieur ou égale à E

Donc l Un^(1/2) -l^(1/2) l inférieur ou égale à E/(lUn^(1/2) +l^(1/2) )


A ce moment la, il faut distinguer 2 cas l>0 et l=0 mais je ne comprend pas pourquoi.
merci de votre aide
Ps je suis désolé pour toutes les puissances 1/2 mais je ne sais pas comment écrire les racines carrés.

[pascal16]

Donc l Un^(1/2) -l^(1/2) l inférieur ou égale à E/(lUn^(1/2) +l^(1/2) )

si Un = 0 pour tout n, on ne peut pas diviser

[hdci]

si Un = 0 pour tout n, on ne peut pas diviser

en fait il suffit que pour au moins un supérieur à pour que la division soit impossible

(Exemple, la suite définie par

[fpaco]

Ok mais par conséquent comment je peut démontrer le cas où l=0 ?

[hdci]

Il faut écrire alors directement
donc


(Remarquer que la suite étant positive on peut s'afranchir des valeurs absolues ici)
Et on veut montrer


Il s'agit donc de trouver

(J'ai utilisé dans la seconde proposition, pour éviter toute confusion avec le de la première, vu qu'évidemment on va se servir de la première, mais que le qu'on utilisera dans la première ne sera pas le même que dans la seconde... Une fois qu'on a bien compris comment cela marchait, on peut se passer de cet artifice).

[pascal16]

Le but est d'expliquer la correction de l'exo

lUn- l l inférieur ou égale à E

comme Un et l sont positif, on a (Un^(1/2))^2 =Un et (l^(1/2))^2
donc l (Un^(1/2))^2 - (l^(1/2))^2 l inférieur ou égale à E
donc | (Un^(1/2)) - (l^(1/2)) |*[(Un^(1/2)) + (l^(1/2))] <=E
| (Un^(1/2)) - (l^(1/2)) |* (Un^(1/2)) + | (Un^(1/2)) - (l^(1/2)) |(l^(1/2)) <=E
donc
| (Un^(1/2)) - (l^(1/2)) |(l^(1/2)) ≤ E
là, si l=0 ne permet pas de conclure
sinon
| (Un^(1/2)) - (l^(1/2)) | ≤ E/(l^(1/2))
et on a un bon candidat, il fallait prend E*(l^(1/2))