Demonstration sur avec les combinaisons

[chtirico]

Bonjour,

Pourriez vous me donner une indication pour démarrer mon exercice.
Je dois démontrer que

C(n,0) + C(n,3) + C(n,6) + C(n,9) + ... = (1/3) [2^n + 2 * (-1)^n * cos((2nPI)/3) ]

Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Sans indics, ton truc n'est pas trés évident...
Tu as du voir que, pour tout complexe z, on a :
Analyse bien ce que dit cette formule lorsque (partie réelle, partie immaginaire...) ainsi que lorsque z=1.
Tu devrait trouver 3 relations concernant les 3 sommes suivantes :

[chtirico]

j ai eu 2 autres quastions avant :

montrer que C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n) = 2^n ca j'ai su faire

et montrer que c(n,0)+C(n,2)+C(n,4)+ ... = 2^(n-1) et c(n,1)+C(n,3)+C(n,5) = 2^(n-1) (j'ai su faire aussi)

J'ai essayé d'utiliser ca mais je ne trouve pas.
De plus je n'ai pas vu la formule C(n,0) z^0 + C(n,1) z^1+...+ C(n,n) z^n

[Ben314]

Je ne pense pas qu'on puisse utiliser les sommes sur les pairs/impairs pour trouver la somme sur les multiples de 3.

Par contre, je suis à peu prés sûr que tu connait la somme dont je parle.

La formule du binôme de Newton te dit que, pour tout complexes a,b, on a :

Et, si on prend a=1 on trouve...


Edit : j'ai rajouté des "indics" dans mon premier post.
Comme tu as déjà montré que :
,
cela prouve que
En regardant ce qui se passe pour , tu doit trouver 2 autres relations...

[chtirico]

ok donc je trouve (1+z)^n

en prenant z=1
je trouve
c(n,0)+c(n,1)+c(n,2)+...+c(n,n) = 2^n

en prenant z=exp(2iPI/3),
je trouve
c(n,0)+c(n,1) exp(2iPI/3)+c(n,2) exp(4iPI/3)+c(n,3)+... = (1+exp(2iPI/3))^n

[chtirico]

jai trouvé
S + exp(2iPI/3) T + exp (-2iPI/3) U = exp(-inPI/3)

[Ben314]

C'est tout bon.
De plus, cette unique équation complexe te donne en fait deux équations réelles (en regardant partie réelle et partie imaginaire) vu que S,T et R sont réels.

Avec l'autre (S+T+R=2^n) tu devrait en déduire sans trop de problème la valeur de S (et, si ça t'amuse, celles de R et T)

[chtirico]

merci pour les indications je pense que j'arrive au bout, il ne reste reste plus à montrer pour conclure que

cos(nPI/3) = (-1)^n cos(2nPI/3)

Le plus simple est-il de faire une récureence ?

[Ben314]

Ecrire n.pi/3=n(pi-2pi/3)=n.pi-2npi/3 me semble... bien plus simple !