Démonstration suites

[MattFellow]

Bonjours à tous ,
Je suis tombé sur une égalité en suites mais je ne vois vraiment pas comment la démontré, il me faudrait de l'aide pour comprendre ^^ merci
=

j'ai essayer d'écrire les suites à l'aide de relations de récurrences :
U0 = et Un+1 =
Mais ça ne me sert pas vraiment et j'arrive pas à faire le lien entre les deux égalité.
Voilà, merci :lol3:

[paquito]

Les deux suites convergent vers le nombre d'or: , mais ne sont pas égales: U0=V0=1, mais U1=2 et V1= . L'énoncé est complètement foireux!!! De toutes façons Un est un rationnel, alors que Vn est un irrationnel. Ce n'est pas du tout parce que Un et Vn ont la même limite quelles sont égales; déjà U1 est différent de V1! Sinon U(n+1)=1+1/Un donc, la convergence étant prouvée, l=1+1/l, soit l²-l-1=0 d'où , et Vn+1 = , doù l= et l²-l-1=0 d'où, là aussi, .

[chan79]

salut
Prends les suites séparément et montre qu'elles convergent vers le nombre d'or

[paquito]

L'étude de la suite Vn n'est pas trop difficile; on démontre par récurrence que Vn est majorée par 2; on démontre que si Vn+1>Vn, alors Vn+2>Vn+1 puisque x-> est Strictement croissante pour x>=1; donc on démontre aussi la croissance de Vn par récurrence (V1>V0);
La suite Vn converge donc vers la solution positive de l=V(1+l).
Pour Un c'est Plus délicat car elle alterne autour de. Donc, pas de théorème simple à appliquer. Je ne pense pas que passer par des suites adjacentes où par le point fixe
(solution de 1+1/x=x) fassent partie du programme.

[paquito]

On peut quand même essayer quelque chose; tu peux déjà construire y=x et y=f(x)=1+1/x; ces deux courbes se coupent en A( ) et f est décroissante. Tu dois savoir mettre en évidence U0,U1, U2, U3, pour voir ce qui se passe.
ensuite, puisque f est décroisante, Un> entraîne Un+1 . Avec ça tu peut montre facilement que U2n .
ensuite f(f(x)), elle est croissante U2n+2>U2n entraîne U2n+4>U2n+2 et U2n+3<U2n+1 entraîne U2n+5<U2n+3, ce qui doit te permettre de montrer que U2n est Croissante et majorée et U2n+1 est décroissante et minorée donc 2 suites convergentes. il est facile de voir que pour chaque suite, la limite l vérifie l=f(f(l)) ce qui donne bien l=.