[Term S] Démonstration de suites par récurrence

[Sharpen]

Salut à tous :we: ,

Pendant cette période de fêtes, j'ai reçu un DM à faire, où j'avance plutôt bien mais je suis coincé vers plusieurs questions concernant la récurrence.

Exercice 1 :

Soit Un la suite définie pour tout entier naturel n non nul par :




1 °) Calculer , , .
2 °) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, est strictement positif.
3 °) Démontrer que la suite est décroissante.

C'est à la troisième question que je bloque. J'en suis donc arrivé à cette méthode :



Et je suis bloqué à partir d'ici :



Et je suis donc bloqué dans cette boucle, puisque je fait encore l'utilisation de et de . Si vous auriez quelques pistes pour m'aider afin de résoudre ce petit problème, ne vous gênez pas :we: .

Exercice 2 :

On considère la suite Un définie par et, pour tout entier naturel n, .

1 °) Calculer et .
2 °) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, .

Toujours le même problème, je suis encore bloqué. J'ai eu l'idée de créer une fonction f et de remplacer la formule de la suite, mais à chaque fois le n me bloque. Si vous auriez une idée aussi, ce serait sympa.

Merci d'avoir pris le temps pour lire ce message :we: et merci pour les futures réponses.

[nodjim]

Si 0

[Sharpen]

En effet, mais le problème, c'est que mes et persistent durant la récurrence, je ne peut donc pas affirmer qu'elle est décroissante à cause de la présence de ces termes. On ne connait pas la formule de , c'est pour cette raison que je bloque à ce moment-là. Auriez-vous une piste pour résoudre ce problème sans utiliser ?

[Lostounet]

En effet, mais le problème, c'est que mes et persistent durant la récurrence, je ne peut donc pas affirmer qu'elle est décroissante à cause de la présence de ces termes. On ne connait pas la formule de , c'est pour cette raison que je bloque à ce moment-là. Auriez-vous une piste pour résoudre ce problème sans utiliser ?

Que se passe-t-il quand n devient de plus en plus grand?

[Joker62]

Il ne faut justement pas faire de récurrence.

Regarde bien la réponse de nodjim.

Si on arrive à montrer que alors on aura

[Sharpen]

Bien sûr, je n'avais pas directement simplifié et j'écrivais cette formule à la place :



Mais finalement écrire est beaucoup plus rapide et beaucoup plus simple.

Comme on sait que alors .

Je peux maintenant conclure que, comme alors donc la suite est décroissante.

Merci beaucoup à vous tous, c'est maintenant plus claire lorsque je lis la question :we: .

Par contre, pour l'exercice 2, dois-je utiliser la propriété d'une suite minorée pour conclure que ?

[Joker62]

C'est très risqué de passé à la limite comme ça.

On a (n+1) <= 2n pour n >= 1 et donc (n+1)/(2n) < 1 et c'est fini.

[Sharpen]

Oui, c'est plus simple. J'ai rajouté des limites car on nous demande à la question suivante ce que l'on peut en déduire de la suite pour dire que sa limite tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

[nodjim]

Pour le 2, combien trouves tu pour U1, U2 et U3 ?

[chan79]

C'est très risqué de passé à la limite comme ça.

On a (n+1) = 1 et donc (n+1)/(2n) < 1 et c'est fini.

Bien-sûr, c'est la meilleure solution
Sinon, on peut calculer
on étudie le signe du résultat ( est positif)

[Sharpen]

Je trouve les valeurs suivantes :

[chan79]

Je trouve les valeurs suivantes :

on te dit

[nodjim]

Donc là tu peux essayer la récurrence.
Si Un>= n alors U(n+1)>n+1 ?
Si vrai, c'est fini

[Sharpen]

Je pensais qu'il s'agissait de l'exercice 2. Pour l'exercice 1, je trouve les valeurs suivantes :

[nodjim]

Chan79, on est sur le 2, là.

[nodjim]

Allo Sharpen, Ici Nodjim.
On est bien sur le 2.
Suis à l'écoute. A toi.

[Sharpen]

Voilà, donc par la suite, je dois affirmer ceci :



En général, la récurrence ne me pose pas trop de problèmes, mais sur cet exercice, je n'y arrive pas. Est-ce que le fait de prouver que la suite Un est croissante pourrait m'aider dans ce cas ?

[nodjim]

Si Un>n, alors 3Un>3n.

[Sharpen]

En effet, j'en arrive à ce calcul :





Mais est-ce suffisant pour dire que, pour n quelconque , ?

[nodjim]

Ton dernier message est plutôt troublant.
Je reformule la récurrence.
Un>n donc 3Un-2n+3>3n-2n+3=n+3>n+1
Donc U(n+1)>n+1
Et c'est fini. Si tu voulais continuer pour U(n+2), U(n+3),... tu retomberais sur la même inégalité, par le même procédé.