Démonstration de sqrt(-i)

[Rjiann]

Bonjour !

J'ai réalisé une démonstration, mais je n'ai pas le résultat exempté et je ne comprends pas mon erreur, malgré le fait que je l'ai recommencé plusieurs fois au brouillon.

On cherche la forme algébrique de sqrt(-i). Soit a+bi = sqrt(-i)
D'où (a+bi)=-i
a²+2abi+(bi)² = -i
a²+2abi-b² = -i
a²-b² + 2abi = -i

On regroupe les parties réelles et imaginaires :
a²-b² = 0
2ab = -1

a²=b²
a=-1 / (2b)

Donc a=b ou a= -b
a=-1/ (2b)

b = -1 / (2b) ou b = 1 / 2b
a = -1/(2b)

a = -1/(2b)
b² = 1/2 ou b² = -1/2 --> impossible

Donc a= -1 / (2 * (1/sqrt2))
b= 1/sqrt(2)

Ainsi a = - sqrt (2) / 2
b = 1/sqrt(2) = sqrt(2) / 2

D'où sqrt (-i) = -sqrt(2)/2 + i*sqrt(2)/2

Je devrais avoir l'opposé :(


Avez-vous une idée de mon erreur ?
Merci d'avance à tous les courageux.

[Ben314]

Ben... oui et c'est parfaitement normal...
Perso, (avec mes étudiants), j'interdit totalement et expresemment l'utilisation du symbole racine carré avec un complexe dessous (par exemple racine(i)).
Au lieu d'écrire (avec b complexe) j'exige qu'ils écrivent "a est une des racines de b".

Dans C, étant donné un nombre b donné, il y a toujours deux solutions à l'équation a²=b, (opposées l'une à l'autre) que l'on peut appeler les racines carrées de b.
En fait, dans R, si b>0, c'est pareil : il y a deux solutions opposées à l'équation a²=b et celle qu'on appelle LA racine carré, c'est LA solution positive.
Sauf que, dans C, il n'y a pas de relation d'ordre, donc pas de positifs/négatifs et ça fait que les deux solutions de a²=b jouent le même rôle.

Conclusion : tu as trouvé UNE des deux racines carrées de -i (et tu a comparé ton résultat avec un type qui lui a trouvé L'AUTRE racine de -i...)

[Ben314]

Et, sinon, de façon "pratique", ton erreur, elle est là :

b² = 1/2...
b= 1/sqrt(2)

Et ça signifie que... tu fait la même erreur dans R que celle que tu fait dans C, à savoir de croire qu'il n'y a qu'une seule solution à une équation du type x²=Constante.

Ici, l'équation b²=1/2 n'a pas pour unique solution b=1/sqrt(2) mais a (comme toujours) DEUX solutions (opposées l'une de l'autre)

[Rjiann]

Je voiiiiiiis !
J'ai comparé avec le résultat de ma calculatrice à vrai dire. Elle ne m'affichait que cette racine.
J'ai utilisé la méthode pour trouver sqrt(i), et je me suis dit que je pouvais re-faire le protocole dans l'autre sens.
En tout cas, merci de m'avoir tiré de mon incompréhension.

[Ben314]

Je viens de lire tout ton post et de voir où était le problème (qui existe forcément vu qu'il y a DEUX solutions) : voir çi dessus.

Aprés, concernant ta machine, pour des raisons assez évidentes au niveau pratique, elle ne donne qu'un seul résultat lorsqu'on lui demande la racine d'un complexe (l'autre solution étant évidement l'opposé de celle donnée par la machine).
A priori, je dirait bien qu'elle choisi la solution dont la partie réelle est positive (si le résultat n'est pas un imaginaire pur...)

Aprés, si tu veut une "astuce" pour que les calculs soient plus rapide, en plus des deux équations dont tu est parti, à savoir a²-b²=0 et 2ab=-1 où tu as utilisé le fait que deux complexes sont égaux ssi ils ont même partie réelle et même partie imaginaire, tu peut aussi écrire (en plus) qu'ils ont même module.
Par exemple, ici, partant de (a+ib)^2=-i, tu en déduit que a²+b² (qui est le module de (a+bi)²) doit être égal à 1 (qui est le module de -i)

[Rjiann]

Un jour les élèves cesseront de faire confiance à leurs calculatrices ! (peut-être cela serait préférable)
Je le noterai donc sur un mémo que, réel ou complexe, il existe deux racines opposées à leur racine carrée.
Je n'avais effectivement pas pensé à cette astuce. Merci pour tous ces conseils qui me serviront pour la suite.

[paquito]

Quand la recherche des racines carrées d'un complexe était encore au programmme, la démarche était la suivante (exemple pour -i)

a²-b²=0 (identification des parties réelles)
a²+b²=1 (identification du carré des modules)
ab<0 (signe de la partie imaginaire)

On avait immédiatement: a²=1/2, puis b²=1/2 d'où 2 solution z1=V2/2-iV2/2 et z2=-V2/2+iV2/2.

On faisait ça en T°A1, donc avec des littéraires et ça passait très bien (à l'époque).

[Black Jack]

Recherche des complexes z tel que z² = -i

z² = e^(-Pi/2 + 2k.Pi)
z = e^(-Pi/4 + k.Pi)

z0 = e^(-Pi/4 + 0) = cos(-Pi/4) + i.sin(-Pi/4) = 1/V2 - i.1/V2
z1 = e^(-Pi/4 + Pi) = -1/V2 + i.1/V2
*****
:zen:

[Robic]

Les racines carrées de -i, ça se trouve sans calcul en regardant le dessin.

(Les deux racines carrées se représentent par une bissectrice, et vu que par ailleurs le module est 1 on reste sur le cercle unité.)

[paquito]

Les racines carrées de -i, ça se trouve sans calcul en regardant le dessin.

(Les deux racines carrées se représentent par une bissectrice, et vu que par ailleurs le module est 1 on reste sur le cercle unité.)

ce sont les méthodes proposées qui sont intéressants, pas le cas trivial étudié.

[Robic]

Oui mais le calcul des racines carrées d'un nombre complexe est hors programme au lycée.

Par contre, être capable de deviner les racines carrées de certains nombres complexes comme -i grâce à un dessin, c'est tout à fait dans le programme (puisqu'on sait que le carré multiplie l'argument par deux, donc les racines carrées font le contraire) et j'espère que c'est même dans les exigences du programme (ça témoigne d'une meilleure compréhension des nombres complexes que juste savoir faire bêtement des calculs algébriques).

[paquito]

Oui mais le calcul des racines carrées d'un nombre complexe est hors programme au lycée.

Par contre, être capable de deviner les racines carrées de certains nombres complexes comme -i grâce à un dessin, c'est tout à fait dans le programme (puisqu'on sait que le carré multiplie l'argument par deux, donc les racines carrées font le contraire) et j'espère que c'est même dans les exigences du programme (ça témoigne d'une meilleure compréhension des nombres complexes que juste savoir faire bêtement des calculs algébriques).

Tu as raison, mais je ne pense pas que ça figure dans les exigences du programme; peut être qu'on a le droit de bricoler avec l'écriture exponentielle.....