Démonstration Récurrence Série Taylor

[LaserPasCher]

Bonjour à tous,

Dans le cadre d’un exercice d’approfondissement, je cherche à démontrer par récurrence le développement en série de Taylor avec reste intégral de l’exponentiel.

Pour l’initialisation il n’y a pas trop de soucis.

Mais cela fait une semaine et demi que j’y réfléchis et je ne comprend pas comment procéder pour l’hérédité.

Si vous pouviez me donner une piste je serai vraiment reconnaissant…


Voici la formule (la variable de l’intégrale est t)

\exp x = \sum_{k=0}^{n}{\frac{x^k}{k!}} + \int_{0}^{x}{\frac{(x-t)^n \exp t}{n!}}

Merci d’avance

[felzz]

Salut !

1. Pour l'initialisation, il faut vérifier que la formule est vraie pour n=0, ainsi:

Code: Tout sélectionner

exp(x) = 1 + \int_0^x (x-t)^0 * exp(t) / 0! dt

Tu devrais avoir trouvé ceci.

2.Supposons que la formule soit vraie pour un certain entier n. Il faut prouver que la formule est également vraie pour n+1, ainsi :

Code: Tout sélectionner

exp(x) = \sum_{k=0}^{n+1} \frac{x^k}{k!} + \int_0^x \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} exp(t) dt

remplace n par n+1

Code: Tout sélectionner

exp(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} + \int_0^x \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} exp(t) dt

Reste à prouver l'égalité.

N'hésite pas si question. Bon courage !

[LaserPasCher]

Merci pour ton aide, ça m'éclaire un peu.

Pour autant, j'avoue ne pas voir par quel chemin passer, je ne vois pas comment commencer mon hérédité. Enfin j'ai compris qu'il est nécessaire de démarrer avec l'hypothèse de récurrence, mais après je ne comprend pas comment faire apparaitre du n+1.

Encore merci.

[felzz]

Bonsoir,

Pas de souci ^^

Pour l'hérédité, effectivement, tu as raison, il faut partir de l'hypothèse de récurrence et montrer que la formule est vraie pour n+1.

Pour ça, tu peux suivre ces étapes :

1. Ecris la formule pour n+1 que je t'ai donnée dans ma réponse précédente
2. Réecris la formule n en remplçant la borne supérieure de la somme de k=0 à n par k=0 à n-1. Ca te permettra de la formule pour n+1 uniquement en termes de la formule pour n.
3. Soustrais les deux formules : celle pour n+1 et celle pour n. Tu verras apparaître une somme contenant des termes de la forme x^k/k!, ainsi qu'un reste intégral.
4. Utilise l'hypothèse de récurrence, c.-à-d. la formule pour n, pour simplifier les termes de la somme.
5. Simplifie le reste intégral en utilisant les propriétés de l'intégrale et la définition de l'exponentielle.
6. Prouve que ce qui reste est égal à x^(n+1)/(n+1)!

Bon courage et donne moi suite !

[PythagoreSauvage]

Ok, on veut montrer que pour tout ,



INITIALISATION () :



Le résultat est démontré pour


HÉRÉDITÉ :

On note . On a donc

On veut montrer

Si on ne voit pas bien ce qu'il faut ajouter à pour obtenir avant d'utiliser la formule de récurrence, le mieux et le plus simple est de calculer la différence .

Si on parvient à montrer que cette différence est nulle, on aura montré que et par hypothèse de récurrence puisque on aura que



Or, par intégration par parties, avec , on a

Donc finalement

Donc et par hypothèse de récurrence puisque on a que