Démonstration de propriéte des suites

[youkef-sne]

Salut, voila, euh un p'tit exo que j'arrive pas a trouver la solution donc votre aide est la bienvenue :D

On suppose qu'une suite (Un) converge vers deux limites distinctes l et l'
a) Trouver deux intervalles disjoints I et I' tels que: l€I et l'€I'
b) Utiliser la définition d'une suite convergente pour conclure

Maintenant; considerons (Un) une suite bornée et (Vn) une suite convergente vers 0.
c) Montrer que (Un*Vn) est une suite convergente vers 0.
d) Démontrer que le produit de deux suites convergentes converge vers le produit des limites.

Je ne sais meme pas par ou commencer donc merci pour votre aide

[Manny06]

Salut, voila, euh un p'tit exo que j'arrive pas a trouver la solution donc votre aide est la bienvenue

On suppose qu'une suite (Un) converge vers deux limites distinctes l et l'
a) Trouver deux intervalles disjoints I et I' tels que: l€I et l'€I'
b) Utiliser la définition d'une suite convergente pour conclure

Maintenant; considerons (Un) une suite bornée et (Vn) une suite convergente vers 0.
c) Montrer que (Un*Vn) est une suite convergente vers 0.
d) Démontrer que le produit de deux suites convergentes converge vers le produit des limites.

Je ne sais meme pas par ou commencer donc merci pour votre aide

par exemple tu peux supposer l'>l et choisir des intervalles de rayon r=(l'-l)/3
si I=]l-r;l+r[ et I'=]l'-r;l'+r[ I et I' sont disjoints
je te laisse faire le b)

[youkef-sne]

On dit qu'une suite (un) est convergente vers le réel l lorsque tout intervalle ouvert contenant a contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Mais après je dois faire quoi avec cette définition ?

[Manny06]

On dit qu'une suite (un) est convergente vers le réel l lorsque tout intervalle ouvert contenant a contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Mais après je dois faire quoi avec cette définition ?

tu peux ecrire
il existe n0 tel que pour tout n>n0 Un€I
il existe n1 tel que pour tout n>n1 Un€I'
choisis n>sup(n0,n1) et aboutis à une contradiction

[youkef-sne]

Soit n0 et n1 deux entiers naturels tel que:
il existe n0 tel que pour tout n>n0 Un€I
il existe n1 tel que pour tout n>n1 Un€I'
On choisis n tel que n>sup(n0,n1)
Donc Un € [sup(I); sup(I')]
:mur:

[Manny06]

Soit n0 et n1 deux entiers naturels tel que:
il existe n0 tel que pour tout n>n0 Un€I
il existe n1 tel que pour tout n>n1 Un€I'
On choisis n tel que n>sup(n0,n1)
Donc Un € [sup(I); sup(I')]
:mur:

si n>sup(n0,n1) alors Un appartient à l'intersection de I et I'.....qui est vide.Donc il y a une contradiction

[youkef-sne]

Ah oui en effet j'avais pas penser au fait qu'il faut que l'ontersection soit justement.