Démonstration par récurrence

[ranana]

Boujour à tous je suis bloquée dans mon ex lorsque j'obtiens que ma fonction dérivée n'obtient que des solutions complexes conjuguées je ne sais pas si je peux faire un tableau de variation ou pas avec ses solutions et je n'arrive pas non plus la démonstration par récurrence soit la question 2)B) je ne vois pas comment procéder voici l'ex: Soit f la fonction définie sur grand R par: f(x)=2X^3 -2X^2+X-2
Soit Un la suite définie par U0=1 et la relation Un+1=f(Un) pour tout entier naturel n.
1) Déterminer la fonction dérivée de F sur R et en déduire les variations de f sur R.
2) A) Calculer U1
B) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un+1 inférieur ou égal à Un
C) que peut-on en déduire sur le sens de variation de la suite Un?

J'ai obtenu: 1)F'(x)=6x2-4x+1 qui n'a pas de racines réelles
2) U1= -1

Aidez moi svp merci

[chan79]

salut
Si F'(x)=0 n'a pas de solution réelle, tu dois pouvoir en tirer des informations sur le signe de cette dérivée et les variations de F.

[titine]

f'(x) est de la forme ax² + bx + c avec delta négatif donc f'(x) ne s'annule jamais et est toujours du signe de a.

Donc f'(x) > 0 sur R
Donc f croissante sur R.

Pour la récurrence :
Initialisation : U1 < U0
Hérédité : on suppose U(n+1) < U(n)
Comme f est croissante : f(U(n+1)) < f(U(n))
Donc U(n+2) < U(n+1)
Donc la propriété est bien héréditaire.

Reste à rédiger correctement.

Si tu as besoin d'explications supplémentaires dis le.

[ranana]

Je ne comprend pas comment vous faites l'hérédité, est-ce que vous pouvez me donnez plus de détails? Merci beaucoup

[titine]

Dire qu'une propriété est héréditaire c'est dire que si l'on suppose cette propriété vraie à un certain rang (p) alors elle sera aussi vraie au rang suivant (p+1)
Ok avec ça ?
Je donne souvent l'image d'un parcours de dominos. Si on place les dominos de telle sorte que si l'un (n'importe lequel , disons qu'il porte le numéro p) tombe alors , obligatoirement, le suivant (qui porte le numéro p+1) tombe. C'est ça l'hérédité.
L'initialisation consiste à faire tomber le 1er.
D'après l'hérédité il va faire tomber le 2eme, qui va faire tomber le 3eme, qui va faire tomber le 4eme, ....
Et ils vont tous tomber !
Comprends tu bien le principe ?

Ici :
On veut démontrer que la suite est décroissante, c'est à dire que pour tout n, U(n+1) < U(n)
On suppose la propriété vraie à un certain rang (appelons le p si tu veux)
On suppose donc que U(p+1) < U(p)
La fonction f étant croissante, elle conserve l'ordre. C'est à dire que si a<b alors f(a)<f(b)
Comme on a supposé que U(p+1) < U(p) alors f((U(p+1)) < f(U(p))
Mais on sait, par définition de notre suite, que f(U(p)) = U(p+1) et que f(U(p+1)) = U(p+2)
Par conséquent, si U(p+1) < U(p) ALORS U(p+2) < U(p+1)
Ce qui prouve que la propriété est héréditaire.

Est ce plus clair ?

[ranana]

Merci beaucoup pour votre explication j'ai compris. Donc pour la dernière question la suite Un est décroissante ?

[titine]

Bin oui ! puisque pour tout n , U(n+1) < U(n)

[ranana]

D'accord merci beaucoup pour votre aide! Bonne soirée