Démonstration par récurrence, inégalités (Ts)

[Bellule]

Bonjour,
Je viens de commencer la récurrence, et je bloque dès que je tombe sur une inégalité.

Dans le cas 1, on a (Un) définie pour tout n de N par : Uo = 3 ; Un+1 = (4Un-2) / Un+1
dans la dernière question de l'exo, il faut montrer par récurrence que la suite et décroissante.
J'ai commencé par montrer que (P) est vraie au rang initial en montrant que Uo > U1, et je bloque à la deuxième étape, mon problème c'est la méthode (ma prof n'a fait qu'un seul exemple)

Dans le cas 2, il faut montrer par récurrence que pour tout n de N, o<Un<2
avec (Un) définie pour tout n de N par Uo = 1/7 ; Un+1 = (3/4)Un+(1/2)
Même problème je bloque sur la méthode à l'hérédité

Merci d'avance pour vos explications

[Sake]

Bonjour,
Je viens de commencer la récurrence, et je bloque dès que je tombe sur une inégalité.

Dans le cas 1, on a (Un) définie pour tout n de N par : Uo = 3 ; Un+1 = (4Un-2) / Un+1
dans la dernière question de l'exo, il faut montrer par récurrence que la suite et décroissante.
J'ai commencé par montrer que (P) est vraie au rang initial en montrant que Uo > U1, et je bloque à la deuxième étape, mon problème c'est la méthode (ma prof n'a fait qu'un seul exemple)

Dans le cas 2, il faut montrer par récurrence que pour tout n de N, o<Un<2
avec (Un) définie pour tout n de N par Uo = 1/7 ; Un+1 = (3/4)Un+(1/2)
Même problème je bloque sur la méthode à l'hérédité

Merci d'avance pour vos explications

Salut,

En quoi consiste le principe de récurrence ? C'est le même principe qui te dit que si on aligne des dominos et que le premier tombe, alors tout tombe.

Le principe de récurrence sur les dominos s'exprime ainsi :

"Nous savons que le premier tombe. Supposons que l'on ait le résultat suivant : Si le n-ème domino tombe, alors il entraîne le (n+1)-ème. Alors nous en déduisons que tous les dominos tombent". Intuitivement, on voit que le premier domino tombe, et l'hérédité assure que le deuxième tombe aussi, l'hérédité ensuite appliquée entre le rang 2 et 3 assure que le troisième tombe, et ainsi de suite.

Cela aide à se représenter l'enjeu d'un raisonnement par induction (récurrence). Il suffit de montrer que le premier rang de la conjecture soit vrai et de montrer que la conjecture au rang n implique la conjecture au rang n+1. Si tout ceci est vérifié, la conjecture devient une proposition et sera vraie pour tout n.

Nota : Je fais attention de bien distinguer "proposition" de "conjecture". Rien ne garantit en pratique que l'énoncé soit vrai. Il suffit que l'initialisation ou l'hérédité soient non vraies pour que le raisonnement capote. Quand on applique un raisonnement par récurrence en TS, on fait confiance au manuel et on suppose que l'énoncé proposé est vrai pour tout n, le seul but de l'exercice étant de faire appliquer à l'élève un raisonnement par récurrence.
Mais en mathématiques, une simple conjecture sur N doit systématiquement être démontrée car rien ne garantit qu'elle soit vraie pour tout n même si elle est vraie pour les quelques premiers termes.

[Bellule]

OK donc ça veut dire que dans le cas 1 je suppose Up > Up+1 et ensuite je le démontre en remplaçant ?
Et dans le cas 2 pareil ? je suppose que o<Up<2 et après je démontre que o<Up+1<2 en remplaçant ?

[Sake]

OK donc ça veut dire que dans le cas 1 je suppose Up > Up+1 et ensuite je le démontre en remplaçant ?
Et dans le cas 2 pareil ? je suppose que o<Up<2 et après je démontre que o<Up+1<2 en remplaçant ?

Oui. Fais attention à la rédaction, l'hérédité commence par une phrase du style "soit donné, supposons que l'on a . Montrons alors que "

Pour le deuxième, c'est ça aussi.

[Bellule]

Ok merci beaucoup !