Démonstration par récurrence et dérivation

[kiara]

Bonjour j'ai deux exos pour demain et je bloque sur les deux... je vous met tout de même les quelques petites choses que j'ai trouvé ..

EXERCICE1

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n :
1²+2²+3²+...+n²= ((n(n+1)(2n+1))/6

plus d'une heure que je cherche et j'en suis encore à
1²+2²+...+(n+1)²=1²+2²+...+n²+(n+1)²

EXERCICE2

ABCD est un carré de côté 1.
C est le quart de cercle de centre A, de rayon AB contenu dans le carré. T est un point de C distinct de B et D. La tangente à C en T coupe le segment [DC] en M et le segment [BC] en N. On note x=DM et y=BN.

1a) Démontrer que MN²=x²+y²-2x-2y+2

Bon là j'ai quand même trouvé :happy2: pythagore... :marteau:

b) Démontrer que MN=MT+TN=x+y

J'ai essayé en partant de a) et en enlevant les carrés mais je me suis retrouvée avec des racines carrés... :briques:

c) A l'aide de a) et b) exprimer y en fonction de x.

Vu que je n'ai pas b)...

d) Calculer alors MN en fonction de x.
2. f est la fonction définie sur ]0;1[ par f(x)=(x²+1)/x+1
a) Etudier les variations de f.

J'ai cherché f'(x)= ((x(x+1))-(x²+x))/(x+1)² et j'ai fait un tableau de variation.

b)Pour quelle position du point M la longueur MN est-elle minimale?Je dirais pour x=0.5.

Voilà si vous pouvez m'aider un peu se serait sympa merci!

[panoramix]

Salut,

pour la récurrence :
Sn+1 = Sn + (n+1)²

=n(n+1)(2n+1)/6+6(n+1)²/6
=(n+1)/6*(n(2n+1)+6(n+1))

Tu développes le deuxième produit et résout l'équation du deuxième degré, tu trouves les racines : -2 et -3/2
Je te laisse faire la suite

CQFD

[panoramix]

pour la question b

AT²+MT²=AM²=AD²+x² donc 1+MT² = 1+x² donc MT=x
de même TN=y

[panoramix]

Je te laisse faire la suite, je pense que tu peux maintenant continuer

bye

[kiara]

Ok merci beaucoup de ton aide Panoramix
Si je suis ton raisonnement pour le b)
AT²+NT²=AN²=AB²+y² donc 1+y² donc Tn=y.
Je vais essayer de finir maintenant que j'ai les réponses à ces questions.