Démonstration par récurrence et déduction

[Aya]

Bonsoir tout le monde, j'ai passé une évaluation ce matin,et j'avais pas pu répondu à la dernière question de cet exercice.. Prière de m'aider

1- Montrer que: ∀ n ∈ IN * (1+α)ⁿ ≥ 1+n α où α ∈ R+ (c'est facile; j'ai opté pour la récurrence)
2- En déduire que :
a- ∀ n ∈ IN * 3ⁿ > n
b- ∀ n ∈ IN * (n+1)ⁿ ≥ 2nⁿ

Bonne soirée à tous, et merci d'avance!

[Pseuda]

Bonsoir,

Fais dans la 1ère formule.

[Aya]

Oui c'est vrai, mais c'était demandé de montrer la 1ère formule en optant pour la récurrence, j'ai su le faire c'était quand même facile, mais j'ai bloqué sur les autres !

[Pseuda]

"Fais dans la 1ère formule", c'était pour répondre à la dernière question de l'exercice, soit la 2b, celle où, si j'ai bien compris, tu as bloqué.

[Aya]

Ahh... J'ai remplacé, mais je n'ai trouvé que : (1+1/n)^n ≥ 1
Celà voudrait-il dire quoi ?
Ps: D'ailleurs j'avais bloqué sur la 2a aussi

[Aya]

J'ai pris : α=1⁄n
J'ai obtenu après remplacement : (1+1/n)ⁿ ≥ 1
((n+1)/n)ⁿ = [ (n+1)ⁿ / n ⁿ ] ≥ 1
D'où : (n+1)ⁿ ≥ n ⁿ (car leur quotient est ≥ 1)
Mais on m'a demandé de démontrer que : (n+1)ⁿ ≥ 2n ⁿ ???

[Pseuda]

J'ai pris : α=1⁄n
J'ai obtenu après remplacement : (1+1/n)ⁿ ≥ 1
((n+1)/n)ⁿ = [ (n+1)ⁿ / n ⁿ ] ≥ 1
D'où : (n+1)ⁿ ≥ n ⁿ (car leur quotient est ≥ 1)
Mais on m'a demandé de démontrer que : (n+1)ⁿ ≥ 2n ⁿ ???

Bonjour,

Il y a une erreur dans ton calcul. Normalement tu dois trouver la bonne formule.

[zygomatique]

salut







...

[Aya]

Bonjour tout le monde,
Je ne vois pas encore le chemin que je dois suivre.. J'ai refais le calcul mais je n'ai trouvé que :

Aidez-moi svp ...

[zygomatique]

il y a un deux ou pas ?

parce que ton inégalité (n + 1)^n > n^n est triviale (quand n > 0)


et je t'ai répondu ...

[Ben314]

Partant de ça :

(1+α)ⁿ ≥ 1+n α

Si tu prend α=1/n, ça serait pas idiot de le faire des deux cotés de l'inégalité et pas uniquement dans la partie gauche :

Ahh... J'ai remplacé, mais je n'ai trouvé que : (1+1/n)^n ≥ 1

[Aya]

Je vais remplacer par uniquement dans le côté gauche, comme l'a recommandé Ben314 :



Or
C.Q.F.D

FINALEMENT !!!! Je l'ai trouvé.. C'était pas trop facile à voir quand même !
Merci beaucoup les gens

[Ben314]

Je me suis peut-être mal exprimé, mais moi, justement, j'avais plutôt dit de remplacer des deux cotés...

Enfin, bon, le principal, c'est que tu ait obtenu le bon résultat...

[zygomatique]

Je vais remplacer par uniquement dans le côté gauche, comme l'a recommandé Ben314 :



Or
C.Q.F.D

FINALEMENT !!!! Je l'ai trouvé.. C'était pas trop facile à voir quand même !
Merci beaucoup les gens

c'est surtout que tu as mélangé deux méthodes (celle de ben314 et la mienne) ce qui alourdit les choses


avec ce que je propose :



tout simplement ...

[Ben314]

Même pas vrai que c'est moi : c'est Pseuda dans le premier Post...

Fais dans la 1ère formule.

[zygomatique]

oui ... pas eu envie de remonter à l'auteur initial ... qui ne nous en voudra pas ... je l'espère !!

[Pseuda]

Bonsoir,

@ zygomatique @Ben314

Bien sûr que non, je ne vous en veux pas, en tout cas, pas à Ben314 !