Démonstration/inéquations

[cleyz]

Bonjour tout le monde !

J'ai beaucoup réfléchi à propos de cet exercice et je ne le comprends pas.
J'ai juste reussi la question 1.
Merci de m'expliquer et de me mettre sur une piste pour comprendre.

Voici l'énoncé suivit de ma réponse à la question 1. :

n est un entier naturel non nul.

1. Vérifier que 1/n - 1/(n + 1) = 1/n(n + 1) [1].

2. a). Utiliser la relation [1] pour calculer :

1/1*2 + 1/2*3 + .... + 1/99*100.

b). Calculer en fonction de n la somme :

S = 1/1*2 + 1/2*3 + .... + 1/n(n + 1).

c. Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle :

S > 0.999 9.


Pour la question 1. j'ai fait :

1/n - 1/(n + 1) = 1(n + 1)/n(n + 1) - 1*n/n(n + 1)
= n + 1/n(n + 1) - n/n(n + 1) = 1/n(n + 1).

Merci de m'aider !
Je vous en serais infiniment reconnaissant.

[anima]

1. Vérifier que 1/n - 1/(n + 1) = 1/n(n + 1) [1].
2. a). Utiliser la relation [1] pour calculer :
1/1*2 + 1/2*3 + .... + 1/99*100.
b). Calculer en fonction de n la somme :
S = 1/1*2 + 1/2*3 + .... + 1/n(n + 1).
c. Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle :
S > 0.999 9.

1) qED

2)
a)
Tu as l'indice sous ton nez pour le faire :triste:

Après simplification, ta zôlie somme te donne 1-(1/100)
b)
Autant procéder par analogie, on trouve 1-(1/(n+1)). Mêmes calculs

[cleyz]

Bonjour anima.
Merci beaucoup pour ton aide.

J'ai pas trop compris comment tu as fait pour la a.
J'ai compris que on pouvais passer de 1/1*2 + 1/2*3 + .. + 1/99*100
à 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + .. + 1/99 - 1/100 mais j'ai pas compris comment à partir de cela tu as réussi à trouver que cette somme était égale à 1 - 1/100.

(j'ai pas trop compris non plus comment tu as fait pour la b. mais il vaut mieux procéder par étape)

Merci de m'expliquer !

[anima]

Bonjour anima.
Merci beaucoup pour ton aide.

J'ai pas trop compris comment tu as fait pour la a.
J'ai compris que on pouvais passer de 1/1*2 + 1/2*3 + .. + 1/99*100
à 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + .. + 1/99 - 1/100 mais j'ai pas compris comment à partir de cela tu as réussi à trouver que cette somme était égale à 1 - 1/100.

(j'ai pas trop compris non plus comment tu as fait pour la b. mais il vaut mieux procéder par étape)

Merci de m'expliquer !

En gros, on te donne 1/n-1/n+1 = 1/(n(n+1)). Or, tes 100 fractions sont de la forme 1/(a(b)). J'ai donc tout simplement remplacé à chaque fois :zen:

[cleyz]

Je ne comprends pas trop la question 2b. et 2c.

Pour la b il me demande de faire 1 - 1/100 + 1/n(n+ 1) et de trouver combien ça fait en fonction de n c'est ça ?

[anima]

Je ne comprends pas trop la question 2b. et 2c.

Pour la b il me demande de faire 1 - 1/100 + 1/n(n+ 1) et de trouver combien ça fait en fonction de n c'est ça ?

Non. la b, ils te demandent la somme...ah puis mince, je l'écris en LaTeX

Voila ce qu'ils te demandent :zen: . Et toi, tu leur réponds en faisant la même chose qu'avant. Premier élément - dernier élément :zen:

[cleyz]

Sésoler de te dire ça anima mais j'ai du mal à comprendre ce qu'il faut faire.
Je ne suis qu'en seconde et je ne comprend pas les signes que tu utilises.
Tu pourrais pas me dire simplement ce qu'il faut faire ? Juste mettre la première équation après je résouds.
Merci encore.

[anima]

Sésoler de te dire ça anima mais j'ai du mal à comprendre ce qu'il faut faire.
Je ne suis qu'en seconde et je ne comprend pas les signes que tu utilises.
Tu pourrais pas me dire simplement ce qu'il faut faire ? Juste mettre la première équation après je résouds.
Merci encore.

J'ai cru que tu étais en terminale, moi :doh: c'est de mon niveau, ce que tu fais là.

Je récapitule

Tes acquis:
- 1/n - 1/(n + 1) = 1/n(n + 1)

Ton objectif: calculer S = 1/1*2 + 1/2*3 + .... + 1/n(n + 1)

Or, S = 1/1(1+1) + 1/2(2+1) + ... + 1/n(n+1) . a chaque occurence de 1 jusqu'à n, on remplace par la formule qu'on avait trouvé. On obtient:
S= 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 ... + 1/n - 1/n+1
Qui encore se simplifie en
S=1 - 1/n+1

C'est pas bô, ça?

Au fait, ce genre d'exercice fait partie de ce qui sera plus tard appelé les suites. Ce qu'on t'a demandé, c'est de calculer la somme de l'entier 1 jusqu'à l'entier n de la suite définie par:

[crassus]

je penses que cleyzs a du mal à observer que dans la somme algébrique 1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+ ... +1/97-1/98+1/98-1/99+1/99-1/100 tous les termes s'élimine deux à deux sauf le premier et le dernier ... voilà pourquoi on établit que cette somme vaut 1-1/100 .

[cleyz]

Merci beaucoup pour ton aide !
Je te propose d'écrire la solution à l'exercice.
Peut-tu me dire si c'est juste ?

1.

1/n - 1/(n + 1) = 1/n(n + 1) ?
1/n - 1/(n + 1) = 1(n + 1)/n(n + 1) - 1*n/n(n + 1)
= (n + 1 - n)/n(n + 1) = 1/(n + 1).

2.
a.
1/(1*2) + 1/(2*3) + .... + 1/99*100
= 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ....+ 1/99 - 1/100
= 1 - 1/100
= 0.99.

b.
S = 1/1*2 + 1/2*3 + .... + 1/n(n + 1)
S = 1/1(1+1) + 1/2(2 + 1) + .... + 1/n(n + 1)
S = 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ....+ 1/n - 1/(n + 1)
donc S = 1 - 1/(n + 1)

c.

S > 0.9999
1 - 1/(n + 1) > 9999/10000
-1/(n + 1) > 9999/10000 - 1
-1/(n + 1) > 9999/10000 - 10000/10000
-1/(n + 1) > -1/10000
1/(n + 1) < 1/10000
1(n + 1)/(n + 1) < 1(n + 1)/10000
1 < (n + 1)/10000 ( par contre là je sais pas si il faut changer de signe parc que on sait pas si n est positif ou négatif ! )

1 < (n + 1)/10000
10000 < n + 1
n > 10000 - 1
n > 9999

On a donc S > 0,9999 pour n > 9999.

Merci de me dire si cela est juste !

[anima]

Merci beaucoup pour ton aide !
Je te propose d'écrire la solution à l'exercice.
Peut-tu me dire si c'est juste ?

1.

1/n - 1/(n + 1) = 1/n(n + 1) ?
1/n - 1/(n + 1) = 1(n + 1)/n(n + 1) - 1*n/n(n + 1)
= (n + 1 - n)/n(n + 1) = 1/(n + 1).

2.
a.
1/(1*2) + 1/(2*3) + .... + 1/99*100
= 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ....+ 1/99 - 1/100
= 1 - 1/100
= 0.99.

b.
S = 1/1*2 + 1/2*3 + .... + 1/n(n + 1)
S = 1/1(1+1) + 1/2(2 + 1) + .... + 1/n(n + 1)
S = 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ....+ 1/n - 1/(n + 1)
donc S = 1 - 1/(n + 1)

c.

S > 0.9999
1 - 1/(n + 1) > 9999/10000
-1/(n + 1) > 9999/10000 - 1
-1/(n + 1) > 9999/10000 - 10000/10000
-1/(n + 1) > -1/10000
1/(n + 1) 10000 - 1
n > 9999

On a donc S > 0,9999 pour n > 9999.

Merci de me dire si cela est juste !

J'ai eu presque le même exo l'an dernier, et j'avais écrit plus de phrases. Mais bon, là, c'est compréhensible.

Une seule chose: vire moi ca: "( par contre là je sais pas si il faut changer de signe parc que on sait pas si n est positif ou négatif ! )". On sait que c'est positif, vu que n est pris entre 1 et +infini :zen: