Démonstration de formule TRES URGENT...
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par krokos55 » 03 Mai 2006, 22:57
franchement je lutte un peu lol tu veux pas me réécrire le truc car je ne vois pas comment appliquer l'H de Réc avec l'union Ai An+1... merci bcp bcp bcp !
par Touriste » 03 Mai 2006, 23:02
Je veux bien t'écrire le détail mais, avant tout, es-tu bien d'accord avec le fait que ton hyp de réc est "pour TOUTE famille de n éléments 
, P()=..." et pas seulement "pour LA famille de n éléments 
, P()=..."
par krokos55 » 03 Mai 2006, 23:14
ca je l'avais trouvé sur mom papier... mais mon probleme c'est q'une fois que j'ai utilisé l' H de R pour le premier et le derniere terme comment je conclue sur le fait que au rang n+1 c'est vrai ?
par Touriste » 03 Mai 2006, 23:34
On veut montrer que
 = \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} \sum_{1\leq i1<i2<....<ik\leq n+1} P(A_{i1} \cap A_{i2} \cap \ldots \cap A_{ik}).)
On a :
=P((\bigcup_{k=1}^{n} A_k)\cup A_{n+1}) <br />= P(\bigcup_{k=1}^{n} A_k)+P(A_{n+1})- P((\bigcup_{k=1}^{n} A_k)\cap A_{n+1}))
^{k-1} \sum_{1\leq i1<i2<....<ik\leq n} P(A_{i1} \cap A_{i2} \cap \ldots \cap A_{ik}) + P(A_{n+1}) - \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \sum_{1\leq i1<i2<....<ik\leq n} P(A_{i1} \cap A_{i2} \cap \ldots \cap A_{ik} \cap A_{n+1}).)
Tu dois avoir tout ça sur ton papier.
Ensuite, pour conclure, il ne reste plus qu'à remarquer la chose suivante :
^{k-1} \sum_{1\leq i1<i2<....<ik\leq n+1} P(A_{i1} \cap A_{i2} \cap \ldots \cap A_{ik}))
^{k-1} [\sum_{1\leq i1<i2<....<ik\leq n} P(A_{i1} \cap A_{i2} \cap \ldots \cap A_{ik}) + <br />\sum_{1\leq i1<i2<....i(k-1)\leq n} P(A_{i1} \cap A_{i2} \cap \ldots \cap A_{i(k-1)} \cap A_{n+1})])
(on sépare les termes où ik=n+1 des autres)
^{k-1} \sum_{1\leq i1<i2<....<ik\leq n} P(A_{i1} \cap A_{i2} \cap \ldots \cap A_{ik}))
^{k-1} \sum_{1\leq i1<i2<....i(k-1)\leq n} P(A_{i1} \cap A_{i2} \cap \ldots \cap A_{i(k-1)} \cap A_{n+1}))
^{j} \sum_{1\leq i1<i2<....ij\leq n} P(A_{i1} \cap A_{i2} \cap \ldots \cap A_{ij} \cap A_{n+1}))
en posant j=k-1 dans la 2e somme
^{j-1} \sum_{1\leq i1<i2<....ij\leq n} P(A_{i1} \cap A_{i2} \cap \ldots \cap A_{ij} \cap A_{n+1}))
car ^j = -(-1)^{j-1})
)
en séparant le terme j=0 des autres.
Et là, c'est vraiment gagné !!
On a :
Tu dois avoir tout ça sur ton papier.
Ensuite, pour conclure, il ne reste plus qu'à remarquer la chose suivante :
Et là, c'est vraiment gagné !!
par krokos55 » 03 Mai 2006, 23:53
juste une question sur les sommes telles que
" 1 inferieur à i1 inferieur à ... inferieur a ik ", au niveau des bornes ce n'est pas des larges ? ( inferieur ou égale) ?
" 1 inferieur à i1 inferieur à ... inferieur a ik ", au niveau des bornes ce n'est pas des larges ? ( inferieur ou égale) ?
par krokos55 » 04 Mai 2006, 18:25
énorme merci touriste t'as vraiment été optimal sur cet exo que je trouvais assez velu !!
encore merci bcp
encore merci bcp
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