Demonstration d'un ensemble d'antécédents complexes

[Donsalustre]

Bonjour, voici l'énoncé de l'exo:

Soit C le cercle de diametre AB:

Montrez que si le point M appartient a C alors le point M' appartient a la droite (AB):

Donc precedemment j'avais demontré que (M'A, M'B) = 2(MA, MB)

En sachant que le point M étant sur le cercle, alors (MA, MB) = pi/2

or (M'A, M'B) = 2*pi/2
= pi [pi]

Donc M', A, B sont alignés et par consequent M' appartient a (AB)

Mais apres j'ai cette question: Tout point de la droite AB a t il un antecedent par f ? (z' = 1/2(z + 1/z))

Comment faire ?

Sur un dessin on voit clairement que M' ne sort pas du segment [AB] lorsqu'on deplace l epoint M sur le cercle mais je ne vois pas comment le demontrer.

[Sve@r]

Ben déjà t'as jamais expliqué comment était construit M'....

[Donsalustre]

bon je poste tout l'exercice:

Soit f l'application qui a tout point M de P d'affixe non nulle z associe le point M' d'affixe:

z' = 1/2(z + 1/z)

1.Soit E le point d'affixe ze = -i Déterminez l'affixe du point E' image de E par f:

Je trouve ze' = 0

2.Déterminez l'ensemble des points M tels que M' = M

l'ensemble des points M tels que M = M' sont les points - 1 et 1

3a) Montrer que pour tout nombre complexe z different de 0, 1 et -1 on a:

(z'+1)/(z'-1) = (z+1)²/(z-1)²

J'ai reussi

3b) En déduire une expression de M'B/M'A et une expression de l'angle (M'A, M'B) en fonction de l'angle (MA, MB):

M'B/M'A = MB² / MA² et (M'A, M'B) = 2(MA, MB)

4. Soit D la mediatrice du segment [AB] Montrer que si M est un point de D distinct du point O alors alors M' est un point de D.

On a |zm - za| = |zm - zb|

donc |zm - za| / |zm - zb| = 1

donc |zm - za|² / |zm - zb|² = 1

or |zm - za|² / |zm - zb|² = |z'm - za| / |z'm - zb|

Donc |z'm - za| / |z'm - zb| = 1 <=> |z'm - zb|=|z'm - za|

Donc BM' = AM' donc M' est egalement sur D.

5a) Montrer que si M appartient au Cercle R de diametre AB alors M' appartient a (AB)

Si M appartient au Cercle R de diametre AB alors on a

(MA, MB) = pi/2 or (M'A, M'B) = 2(MA, MB) = 2pi/2 = pi [pi] donc M', A et B sont alignés et donc M appartient a (AB)

5b) Tout point de la droite AB a t il un antecedent par f ?

??? Je ne voit pas du tout comment faire. Quelqu'un peut m'aider svp ?

[Sa Majesté]

Bonsoir,

Tout est bon sauf le 5a)
Pour le 4) tu peux directement utiliser le résultat du 3)
M'B/M'A = (MB/MA)² = 1² = 1

Pour le 5a) ne pas oublier les modulos (très important)

Si M appartient au Cercle R de diametre [AB] alors on a
(MA, MB) = pi/2 [pi] or (M'A, M'B) = 2(MA, MB) = 2(pi/2 + k pi) = pi [2pi] donc M', A et B sont alignés et donc M appartient a [AB] et non pas (AB)
Tu peux le retrouver autrement : le cercle de diamètre [AB] est le cercle trigo
M appartient au cercle de diamètre [AB] ssi z=e^(ix)
Alors z' = 1/2(z + 1/z) = 1/2(e^(ix) + e^(-ix)) = cos (x), on a donc bien z' compris entre -1 et 1 et donc M' sur [AB]

[Donsalustre]

d'accord merci beaucoup ! j'ai passé plus de 3 heure sur la derniere question sans y arriver ! et merci pour la correction !