Démonstration : complexes en trigonométrie

[MarieLi]

Bonjour, je fais des exercices pour m'entrainer et je bloque sur l'un d'eux :

1) montrer que acosx+bsinx= re[(a-ib)e^ix]
(là je pensais utiliser e^ix= cosx+isinx ?

2) z=a+ib, r module de z et a argument de z, montrer que
acosx+bsinx=r(cos(x-a)
(là je pensais partir de r(cos(x-a) et développer: r(cosxcosa+sinxsina)?

3) Determinez tous les réels x de [-pi,pi]tels que cosx-sqrt(3)sinx (inférieur ou égal) à 1
(je pensais utiliser la formule du dessus et l'appliquer a cox-sqrt(3)sinx pour avoir : 2(cos(x+pi/3)

merci d'avance de votre aide:)

[Kiocle]

Bonjours
1)
en effet donc

(simple développement)

Il suffit de prenre la parti réelle pour avoir le résultat.

pour le second,
donc d'après le résultat précédent,
Or
Il suffit de faire le produit des deux complexe avec l'exponnentielle et de repasser sous forme trigo puis prendre la partie réelle.

Enfin pour le dernier tu es sur la bonne piste, il faut résoudre l'équation avec la seconde formule.

[MarieLi]

Bonjours
1)
en effet donc

(simple développement)

Il suffit de prenre la parti réelle pour avoir le résultat.

pour le second,
donc d'après le résultat précédent,
Or
Il suffit de faire le produit des deux complexe avec l'exponnentielle et de repasser sous forme trigo puis prendre la partie réelle.

Enfin pour le dernier tu es sur la bonne piste, il faut résoudre l'équation avec la seconde formule.

Merci beaucoup !! j'ai bien compris pour les deux premières questions, et pour la dernière je trouve comme résultat:
cos(x+pi/3)(inferieur ou egal a ) cos(pi/3)
donc x=0 ou x=-2pi/3 ?


est-ce bien cela? encore merci !!

[Kiocle]

en effet tu as bien

D'où


donc
Tu veut dans comme ce resultat est valable modulo


Comme tu as une inégalité, tu as un ensemble de solutions.

[MarieLi]

en effet tu as bien

D'où


donc
Tu veut dans comme ce resultat est valable modulo


Comme tu as une inégalité, tu as un ensemble de solutions.

Merci beaucoup !! donc quand il y a une inégalité je dois prendre dans les solutions les bornes de l'intervalle?

[Kiocle]

Merci beaucoup !! donc quand il y a une inégalité je dois prendre dans les solutions les bornes de l'intervalle?

Tu prend toute les solution qui vérifient l'inégalité, donc comme tu a inférieur ou "égal", la solution 0 est dans l'intervalle et -2pi/3 aussi. Sinon il suffirait d'exclure avec des intervalle ouvert.