[T°S] Démonstration combinatoire de la somme des premiers cu

[Restefond]

Bonsoir,

Encore une fois, j'ai un petit problème que je n'arrive pas à faire! Notre professeur nous a donné le DS de l'an dernier pour nous entraîner au prochain qui a lieu ce lundi, mais je ne parviens même pas à finir l'exercice 1... Je précise que je suis en Terminale S.
Je vous présente le sujet.


Au niveau des questions 0, 1 et 2, ça va, aucun problème.
Pour la question 3, j'ai réussi à trouver le cardinal de E (oh, magie, c'est la partie gauche de la formule!) et le cardinal de F (surprenant, c'est la partie droite!). Il me suffit de montrer que E et F sont équipotents, comme ce sont des ensembles finis, ils ont le même cardinal, et j'obtiens alors la formule attendue.
Mais je ne parviens pas à montrer l'équipotence et à vrai dire, j'ai beaucoup de mal à comprendre même cette notion...
La question 4, n'en parlons même pas...

Je suis vraiment désolé de ne pas vraiment avoir avancé sur cette question, mais votre aide me serait précieuse. Merci d'avance et bonne soirée!

[Luc]

Bonsoir Restefond!

déjà, merci pour ton message bien présenté!

3.

Effectivement, le cardinal de E est la partie gauche de la formule (justification?)
et le cardinal de F est la partie droite de la formule (justification?)

Pour des ensembles finis, dire que E et F sont équipotents c'est juste dire que les cardinaux (nombre d'éléments) de E et F sont égaux. Rien de compliqué donc pour la notion d'équipotence. (Si les ensembles ne sont pas finis, E et F sont équipotents si et seulement si ils sont en bijection) .

A priori, ce qu'on te demande, c'est une preuve combinatoire, c'est à dire de construire une bijection de E dans F. Ce n'est pas évident à priori. L'idée est de prendre (a,b,c,d) dans E, par exemple, et d'essayer de construire une image qui soit dans F, ensuite montrer qu'on atteint bien tous les éléments.

EDIT : preuve géométrique! http://i.stack.imgur.com/MjQGP.jpg
Je suis en train de chercher une preuve combinatoire qui s'inspire de cette preuve géométrique. En tout cas, rien d'évident. Les preuves bijectives sont souvent difficiles!


Luc

[Restefond]

Cardinal de l'ensemble E:
Il y a quatre éléments: fixons d = k. Alors il y a (k-1 - 0 + 1), soit k choix pour l'élément a, k choix pour l'élément b et k choix pour l'élément c. Ces trois éléments étant indépendants, il y a donc k^3 façons possibles de choisir a, b et c. Il y a donc Somme(k=1, k=n)k^3 façons de choisir le quadruplet (a,b,c,d).
Cardinal de l'ensemble F:
Pour le premier couple, il y a d'abord (n - 0 +1) soit n+1 choix possibles pour le premier élément. Il reste ensuite n choix possibles pour le second. Mais il y a aussi deux permutations pour ces deux éléments. Ainsi il y a A(n+1, 2) façons de choisir les deux éléments, soit n(n+1)/2. De même pour le second couple, dont le choix est indépendant. On en déduit (n(n+1)/2)² façons de choisir le double couple.
Choix d'une bijection:
Si je prends (a,b,c,d) dans E, je peux essayer de scinder ce quadruplet en deux pour obtenir deux couples: (a,b) et (c,d). Ca semble évident, mais ça ne démontre rien...
En effet, dans le quadruplet, je peux choisir a = b alors que le couple (a,b) interdit cette hypothèse... Ca n'avance donc pas à grand chose!

Sur la preuve géométrique, la somme des cubes est donnée par l'aire du carré, j'imagine, qui peut s'exprimer avec la longueur de ses côtés et aussi la somme des surfaces qui le composent intégralement.