Démonstration avec des vecteurs

[marie16]

Bonjour,

J'ai un exercice sur les vecteurs. Je ne sais pas si je m'y prend bien pour faire les démonstrations alors, je vais vous demander votre avis sur ce que j'ai fait.
De plus, à un moment donné je coince. Si vous pouvez m'aider...

1) Démontrer que AD;)+CB;)=2IJ;)

IJ;)=(1/2)CA;)+AD;)+(1/2)DB;)
2IJ;)=2((1/2)CA;)+AD;)+(1/2)DB;) )=CA;)+2AD;)+DB;)
CB;)=CA;)+AD;)+DB;)
J'en déduis: 2IJ;)=AD;)+CB;)

2)Soit k un réel donné, k appartient ]0;1[
On définit les points M,N,P,Q par:
AM;)=kAB;)
AN;)=kAD;)
CP;)=kCD;)
CQ;)=kCB;)

a)Montrer que MNPQ est un parallélogramme. On notera O son centre

Dans le triangle ABC:
AM=kAB donc AM/AB=k
CQ=kCB donc CQ/CB=k
Donc AM/AB=CQ/CB
D'après le théorème de Thalès, CQ/CB=AM/AB=MQ/AC donc, MQ//AC

Dans le triangle ADC:
AN=kAD donc AN/AD=k
CP=kCD donc CP/CD=K
Donc AN/AD=CP/CD
D'après le théorème de Thalès, AN/AD=CP/CD=NP/AC donc AC//NP

Donc MQ//NP

On sait que NP/AC=MQ/AC donc NP=MQ

MNPQ est un quadrilatère qui a 2 côtés // et de même distance donc c'est un parallélogramme.

Ensuite, c'est là que je bloque:

b)Démontrer l'égalité: IO;)=kIJ;)
En déduire que le point O appartient à la droite (IJ)

Merci.

[yvelines78]

bonjour,

sans figure, sans énoncé, c'est de la haute voltige que tu nous demande là!!!!

A+

[marie16]

Oups! J'ai oublié d'indiquer le début de l'exercice. Alors, le voici:

On considère un tétraèdre ABCD quelconque. Soit I et J les milieux respectifs des segments [AC] et [BD]

[rene38]

Bonjour

Tu peux démontrer bien plus rapidement (et plus surement) que MNPQ est un parallélogramme en montrant que :

et tu démontres de même que


Pour la dernière question, O étant le milieu de [NQ], on a et tu vas trouver l'utilisation du premier résultat.

[marie16]

C'est clair que ta méthode pour démontrer que MNPQ est un parallélogramme est plus simple et, à mon avis, c'est plutôt ça la réponse souhaitée. Pour la suite, j'ai compris aussi:

IO;) =(1/2)k(AD;)+CB;))=(1/2) k 2 IJ;)

Par contre, est-ce-qu'il ne faut pas détailler pourquoi IO;)=(1/2)IN;)+(1/2)IQ;)?

J'ai encore des soucis pour la suite de l'exercice.

Après, on me demande de construire la figure en choisissant k=1/4. Là, pas de problème. et enfin, la dernière question:

On choisit k=1/2
Justifier ainsi que dans un tétraèdre, les trois segments, dont les extrémités sont les milieux des arêtes opposées, sont trois segments ayant les mêmes milieux.

J'ai du mal à comprendre l'énnoncé. Est-ce-qu'il veut dire que les segments sont confondus?! Ca me paraît bizarre... Si quelqu'un peut m'expliquer...

[rene38]

On choisit k=1/2
Justifier ainsi que dans un tétraèdre, les trois segments, dont les extrémités sont les milieux des arêtes opposées, sont trois segments ayant les mêmes milieux.

Si k=1/2, M, N, P, Q sont les milieux respectifs de [AB], [AD], [CD], [CB].
On sait aussi que I et J sont les milieux de [AC] et [BD] respectivement.
Il s'agit donc de démontrer que les segments [IJ], [MP] et [NQ] ont le même milieu.