Démonstration à l'aide du Théorème de Thalès SVP

[ANOUK]

Bonjour à tous,


Voilà le problème que je dois résoudre, je ne vous demande pas (forcément) les réponses mais surtout les différents procédés pour arriver aux résultats, aussi bien dans l'exercice 1 que le 2. ( Sachant que d'après ma conjecture avec Geogebra l'aire maximale est de 18, le point M à alors pour abscisse x=-4 )
J'AI VRAIMENT BESOIN DE VOTRE AIDE POUR POUVOIR AVANCER . Merci d'avance !

PROBLÈME :
ABC est un triangle de hauteur CH
AB = 12 cm BH = 4 cm CH = 6 cm
M est un point du segment AH et MNPQ est le rectangle tel que N € AC, P € BC, Q€ AB
Pour quelle position de M l'aire du rectangle MNPQ est elle maximale ?

1 )Conjecture avec Géogebra :
créer les points A ( -8 ; 0 ) H( 0;0 ) B ( 4;0 ) C ( 0;6 )
créer le point libre M sur le segment AH
créer la droite d perpendiculaire à (AB) passant par M. Créer le point N intersection des droites d et (AC)
créer de façon identiques P et Q
créer le polygone MNPQ
déplacer le point M et conjecturer la valeur de x pour laquelle l'aire de MNPQ est maximale

2 )Démonstration
-a l'aide du théorème de Thalès exprimer MN en fonction de x
-a l'aide du théorème de Thalès, exprimer AN en fonction de x, puis NP en fonction de x.
-en déduire l'aire a (x) du rectangle MNPQ en fonction de x.
-déterminer la position du point M pour laquelle l'aire a ( x) est maximale.



A la fin de ma démonstration je trouve que l'aire a (x) du rectangle MNPQ en fonction de x est : 9x/10 ..