Demande vérification exercice concours général

[Waax22951]

Je remarque que j'avais mal vu l'énoncé: je croyais que le dernier "+" était une faute de frappe signifiant que appartenait aussi dans le membre de gauche, désolé pour l'erreur..!
Sinon, mon résultat est-il bon en excluant mon erreur au départ..?
Pour ce qui est de l'autre exercice, je vais le noter dans le coin de ma main pour le faire demain, merci encore pour tous ces exercices..!
(Désolé de ne répondre que maintenant, je fus assez occuppé cette semaine, et ça risque d'être de nouveau le cas pendant les deux prochaines semaine, donc je m'excuse à l'avance..)
Juste une autre question: en réfléchissant sur quelque chose, j'en suis venu à chercher la limite de la suite suivante:



J'ai conjecturé que cette limite était et j'ai démontré que cette limite existait (en montrant que les deux suites définissant les rangs pairs et impairs de la suite sont adjacentes), mais je n'ai pas eu le temps d'y réfléchir de nouveau, ce qui fait qu'aucune idée concrète me vient à l'esprit pour montrer la limite..

Merci d'avance et bonne soirée !

[paquito]

Décidément, tu as fait un 3° exercice et c'est bon; tu as une bonne dextérité au niveau du calcul et c'est un avantage. J'ai regardé ton exercice et comme tous les exercices du concours général, il est parfaitement vicieux. Effectivement tes 2 suites sont adjacentes, mais il faut prouver que croît, que décroît , que pour tout et que ; auquel cas elles sont convergentes et ont même limite; mais les 2 suites étant imbriquées, pour démontrer un résultat, on a besoin d'un autre et vice-versa.
Le pire, c'est que effectivement la limite est, mais si l'on passe à la limite, à supposer qu'on ait réussi à prouver qu'elle soient adjacentes, on obtient et effectivement, lorsque décrit décrit aussi .

Quand je te disais que c'est exercice était vicieux! prouver la convergence ne donne pas la limite! Il faut donc encore trouver une astuce diabolique. Je vais essayer de chercher un peu. C'est rageant car toutes les propriétés de cette suite sont évidentes

[paquito]

Re Waax,

Enfin une idée qui aboutit.

Plaçons sur un axe et est le milieu de donc est le milieu de , puis sera le milieu de et on aura ce qui amorce une récurrence facile pour montrer que pour tout , avec en plus.

De plus On a ,





et=.

La rédaction est minimale, mais c'est un dessin qui m'a fournit la solution!

[Waax22951]

Ce n'est pas vraiment un exercice du CG, je me demandais juste quel serait le prix d'entente de deux personnes si la proposition suivante est la moyenne des deux propositions précédentes.. Puis je me suis rendu compte que cela me ferait un très bon exercice d'entraînement..! :lol3:
La solution est assez simple dans le calcul, mais j'avoue que l'astuce est très belle..!
En tout cas merci beaucoup ! :lol3:

Pour l'exercice donné un peu plus haut, puisqu'il est évident que l'inégalité est vraie lorsque est suffisamment grand, je vais me permettre de modifier un peu l'énoncé pour pouvoir en donner une réponse plus précise:

Soient , une famille d'entiers tels que:
.
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que, à fixé et pour tous les différents de , on ait:
[CENTER][/CENTER]

On remarque que la somme de gauche est maximale si, et seulement si tous les sont successifs (excepté ). Ainsi, le condition est vérifiée si et seulement si:



Ou encore:



D'où



Ainsi, la propriété est vérifiée si, et seulement si, .


En espérant ne pas avoir fait d'erreurs, bonne soirée

[paquito]

Disons que c'est un exercice d'entrainement! L'ensemble solution est infini! Pas genre concours général. ceci dit, tu rédiges bien!

[zygomatique]

Bonjour,
Je pense avoir réussi un exercice du concours général, mais ça me semble étrange puisque je n'y arrive d'ordinaire jamais..! (même si il m'a semblé plus simple que d'autres..)
Du coup, j'aimerais savoir si ma réponse est correcte, merci d'avance !



Réponse:

Posons d'abord , la suite définie par récurrence par:


On a alors:

D'où

On en déduit qu'étudier la convergence de équivaut à étudier celle de .

Notons que pour tout n, . En effet, . Or, si , alors , donc on en déduit par récurrence le résultat.


Posons maintenant la propriété , définie pour tout entier naturel n par:
[CENTER] [/CENTER].
est bien vraie puisque .

Supposons maintenant que soit vraie et montrons que est aussi vrai.
Par hypothèse, on a .
D'où

On a donc bien démontré que , donc que pour tout n, .


Or, on a , d'où

Puisque , on en déduit que converge vers 1.

salut

j'avais suivi un peu le fil .... et avec un peu de retard j'y reviens ...



on en déduit par récurrence que

d'autre part




donc la suite est décroissante ...


la suite est décroissante et minorée (par 1) donc est convergente

sa limite L vérifie donc L = 0 ou L = 1

et la minoration par 1 implique L = 1


:zen:

[zygomatique]

Je remarque que j'avais mal vu l'énoncé: je croyais que le dernier "+" était une faute de frappe signifiant que appartenait aussi dans le membre de gauche, désolé pour l'erreur..!
Sinon, mon résultat est-il bon en excluant mon erreur au départ..?
Pour ce qui est de l'autre exercice, je vais le noter dans le coin de ma main pour le faire demain, merci encore pour tous ces exercices..!
(Désolé de ne répondre que maintenant, je fus assez occuppé cette semaine, et ça risque d'être de nouveau le cas pendant les deux prochaines semaine, donc je m'excuse à l'avance..)
Juste une autre question: en réfléchissant sur quelque chose, j'en suis venu à chercher la limite de la suite suivante:



J'ai conjecturé que cette limite était et j'ai démontré que cette limite existait (en montrant que les deux suites définissant les rangs pairs et impairs de la suite sont adjacentes), mais je n'ai pas eu le temps d'y réfléchir de nouveau, ce qui fait qu'aucune idée concrète me vient à l'esprit pour montrer la limite..

Merci d'avance et bonne soirée !

pour celui la



donc ---> suite géométrique



et on additionne membre à membre


j'ai fait ça de tête donc peut-être qq erreurs d'indice ou d'exposants .... mais bon le principe est là ....

:zen:

[paquito]

salut

j'avais suivi un peu le fil .... et avec un peu de retard j'y reviens ...



on en déduit par récurrence que

d'autre part




donc la suite est décroissante ...


la suite est décroissante et minorée (par 1) donc est convergente

sa limite L vérifie donc L = 0 ou L = 1

et la minoration par 1 implique L = 1


:zen:

Tu as encore utilisé la limite avant d'avoir démontré son existence; tout le reste est inutile!

[zygomatique]

n'importe quoi ....

[paquito]

n'a jamais prouvé que existait', ni ; exemple et , d'une part, d'autre part la solution proposée relève d'une application directe de cours, mais en aucun cas d'un exo du concours général: faut pas rêver!!

[zygomatique]

n'a jamais prouvé que existait', ni ; exemple et , d'une part, d'autre part la solution proposée relève d'une application directe de cours, mais en aucun cas d'un exo du concours général: faut pas rêver!!

à qui s'adresse ce msg ?



pour ce qui est du troisième exo : x_1 + x_2 + ... + :: la somme se termine par un +

doit-on compter x_9 ou pas ? ....

[paquito]

Salut zygomatique,

C'est un quiproquo complet! je voulais répondre à un message de Waax et j' ai fait une fausse manoeuvre! Donc a ne pas prendre en compte;désolé.

Toutefois, en ce qui concerne ta démonstration elle prouve que pour un entier
donc qu'à partir du moment où on a elle sera décroissante à partir du rang;
Mais si tu prends, tu vas avoir ...
Donc le problème devient: prouver queest décroissante à partir d'un certain rang et c'est la difficulté de l'exo. On n' a pas trouvé, mais un corrigé est dans cette discussion et comme dans tous les problèmes du concours général, on se demande comment avoir l'idée de génie!!
Bon W.E. :lol3:
Le lien

http://d.tarfaoui.free.fr/cg/

[zygomatique]

non

vu la définition de la suite quelle que soit la valeur de u_0 on a u_1 > 1

donc la suite est décroissante à partir de n = 1





non effectivement je m'avance un peu ....

[paquito]

non

vu la définition de la suite quelle que soit la valeur de u_0 on a u_1 > 1

donc la suite est décroissante à partir de n = 1





non effectivement je m'avance un peu ....

Même pour , on a et; je ne sais pas qui pond ces exos, mais ça s'adresse vraiment à une élite préparé à tout sauf à l'application directe d'un résultat de cours; un peu comme celui ou on avait Il faut très vite se rendre compte qu'un raisonnement classique ne donne rien et trouver l'idée géniale!

[zygomatique]

disons que le raisonnement est le suivant ::

1/ la suite est minorée par 1

2/ si "on veut" qu'elle converge une condition suffisante est qu'elle soit décroissante ...

3/ on montre que la propriété "1 =< u_n+1 =< u_n est héréditaire

4/ il faut donc trouver un rang tel que ça arrive


5/ .... donc on fait un raisonnement par l'absurde .... et il faut le trouver ....


REM : 2/ et 3/ peuvent permuter ...

[Ben314]

Salut,
Concernant l'exo de départ : et
Perso, j'aurais commencé par deux remarques façiles :
1) pour tout
2) Si pour un certain on a alors ce qui signifie que .

Le 2) signifie que la suite est soit croissante tout le temps, soit décroissante à partir d'un certain rang .

Dans le premier cas, elle ne peut pas tendre vers l'infini, vu qu'on montre facilement que si ce qui contredit la croissance.
Elle est donc croissante et majorée donc convergente.
Dans le deuxième cas, elle est décroissante à partir d'un certain rang et minorée donc de nouveau convergente.

Enfin, dans les deux cas, la limite vérifie et donc .

[zygomatique]

en fait les deux propriétés et sont héréditaires ...

c'est ce qui fait toute la difficulté de la conclusion

ce qui nécessite dans tous les cas un raisonnement par l'absurde .... pour contredire la monotonie de la suite et permettre de conclure ....

[coote]

en fait les deux propriétés et sont héréditaires ...

c'est ce qui fait toute la difficulté de la conclusion

ce qui nécessite dans tous les cas un raisonnement par l'absurde .... pour contredire la monotonie de la suite et permettre de conclure ....

Bonsoir,
On peux demontrer que la suite est decroissante pour tout n,
en effet


Le trinome est negatif pour tout X positive

Comme > 0 alors

ainsi notre suite decroissante majore par 1 d'ou la convergence

[paquito]

Salut,
Concernant l'exo de départ : et
Perso, j'aurais commencé par deux remarques façiles :
1) pour tout
2) Si pour un certain on a alors ce qui signifie que .

Le 2) signifie que la suite est soit croissante tout le temps, soit décroissante à partir d'un certain rang .

Dans le premier cas, elle ne peut pas tendre vers l'infini, vu qu'on montre facilement que si ce qui contredit la croissance.
Elle est donc croissante et majorée donc convergente.
Dans le deuxième cas, elle est décroissante à partir d'un certain rang et minorée donc de nouveau convergente.

Enfin, dans les deux cas, la limite vérifie et donc .

A la 1° lecture, j'étais un peu septique, mais finalement ça marche et en plus la démarche est bien plus abordable que celle du corrigé. bravo Ben!

On peut même compléter ta démonstration; on a; donc et or si une de nos suite était croissante et majorée , elle convergerait vers 1 et serait majorée par 1, ce qui est impossible;

conclusion: toutes les suites U_n sont décroissantes à partir d'un certain rang qui peut être n=0.

[Ben314]

Le trinome est negatif pour tout X positive

Il me semble bien que, lorsque X=1, le trinôme vaut 1 qui n'est pas tout à fait négatif...