Défi

[haddou]

Bonsoir,

Voici un nouveau défi que nous lance notre prof et affirme que personne ne parviendra à le relever. Une semaine que je cherche et rien.
Qu'en pensez-vous ?

f est une fonction numérique définie sur [0;1]
et f(1) < 0 < f(0)
On suppose qu'il existe une fonction numérique g continue sur [0;1] tel que f + g est croissante .
Montrez que f(D) = 0 tel qu'il existe un D appartenant à [0 ;1]

N.B : ( Attention f n'est pas continue sur [0;1] ) Donc, on ne doit pas appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

Merci d'essayer.

[Ben314]

Salut,
Perso, je chercherais un D tel que f(D)=0 en procédant par dichotomie, c'est à dire en considérant les deux suites et définies par :

On montre aisément (archi classique) que est croissante, décroissante, qu'elles convergent vers une limite commune , et que, pour tout ,

Il faut maintenant utiliser l'hypothèse disant que s'écrit sous la forme avec croissante et continue :
- Comme est croissante, la suite est croissante et majorée par donc converge vers une limite .
- Comme est croissante, la suite est décroissante et minorée par donc converge vers une limite .
- Comme est continue, les deux suites et convergent toute les deux vers (vu en terminale ???)

En faisant tendre vers l'infini dans l'inégalité , on a donc .

Mais on a aussi donc en fait , c'est à dire .

[haddou]

Merci infiniment , je crois que c'est bien démontré.

Salut,
Perso, je chercherais un D tel que f(D)=0 en procédant par dichotomie, c'est à dire en considérant les deux suites et définies par :

On montre aisément (archi classique) que est croissante, décroissante, qu'elles convergent vers une limite commune , et que, pour tout ,

Il faut maintenant utiliser l'hypothèse disant que s'écrit sous la forme avec croissante et continue :
- Comme est croissante, la suite est croissante et majorée par donc converge vers une limite .
- Comme est croissante, la suite est décroissante et minorée par donc converge vers une limite .
- Comme est continue, les deux suites et convergent toute les deux vers (vu en terminale ???)

En faisant tendre vers l'infini dans l'inégalité , on a donc .

Mais on a aussi donc en fait , c'est à dire .