Défi fonction

par **Henri_Golo** » 09 Oct 2007, 16:44

Peut-on trouver une fonction dérivable sur R, non constante et admettant un extremum local pour toute valeur entière ?

Attention c'est corsé, ne vous faites pas un claquage du cerveau.

par **Imod** » 09 Oct 2007, 16:46

C'est facile si on pense à la trigonométrie .

Imod

par **chan79** » 09 Oct 2007, 17:25

Salut
tu cherches une fonction du type f(x)=ax³+bx²
f'(x)=3ax²+2bx
f'(0)=0
f'(1)=0 si 3a+2b=0
tu prends par exemple f(x)=2x³-3x² pour x variant dans [0;1]
f'x)=6x²-6x
la dérivée est nulle pour 0 et 1
après, symétrie par rapport à Oy et translations ...ça le fait ...

par **Imod** » 09 Oct 2007, 17:39

chan79 a écrit:Salut
tu cherches une fonction du type f(x)=ax³+bx²
f'(x)=3ax²+2bx
f'(0)=0
f'(1)=0 si 3a+2b=0
tu prends par exemple f(x)=2x³-3x² pour x variant dans [0;1]
f'x)=6x²-6x
la dérivée est nulle pour 0 et 1
après, symétrie par rapport à Oy et translations ...ça le fait ...

Tu es sûr ?

Imod

par **chan79** » 09 Oct 2007, 17:58

bé oui, sûr

par **Imod** » 09 Oct 2007, 18:03

Chaque entier doit être un extremum !!!

Imod

par **chan79** » 09 Oct 2007, 19:46

f(x)=2x³-3x²
tu traces la fonction f dans l'intervalle [0;1]
la dérivée est nulle en 0 et 1
tu traces la symétrique du bout de courbe par rapport à (Oy)
et tu fais des translations de vecteur 2vec(i)
ça a l'air d'une sinusoide mais ce n'en est pas une du tout

par **chan79** » 09 Oct 2007, 20:06

ça ressemble à:
[img][IMG]http://img67.imageshack.us/img67/4248/fctia5.png[/img][/IMG]
en continuant à translater vers la gauche et la droite
en tout x entier, la dérivée est nulle à gauche et à droite donc il y a un extrémum local

par **Henri_Golo** » 09 Oct 2007, 21:01

@Chan79: La fontion que tu as défini marche sur l'intervalle [0;1], et non sur R

En effet il faudrait plus reflechir par rapport a la trigo.

par **chan79** » 09 Oct 2007, 21:06

salut
je la définis d'abord sur [0;1] puis sur [-1;0] par symétrie puis sur R par translations ...
l'expression 2x³-3x² n'étant valable que pour [0;1]
c'est pas clair ?

par **Henri_Golo** » 09 Oct 2007, 21:15

Si très clair, cependant construire une représentation graphique d'une fonction par symetrie et par translation ne revient pas a ce que la fonction devienne dérivable sur R.

Tu pourrais aussi bien faire pareil avec la représentation de x², par symetrie, y serait négatif pourtant ca ne défini pas la fonction sur R.

par **chan79** » 09 Oct 2007, 21:21

la fonction est dérivable en tout point
en particulier, pour tout x entier, la dérivée à gauche et la dérivée à droite sont toutes les deux nulles donc il y a bien dérivabilité
évidemment, on n'a pas d'expression de f(x) valable pour tout x
mais par exemple pour élément de [-1;0]
f(x)=f(-x)=-2x³-3x²

par **chan79** » 09 Oct 2007, 21:43

f(x)=cos(PI*x) c'est plus simple :-)

par **Henri_Golo** » 09 Oct 2007, 21:57

Bien joué ;)

Bon aller, j'en mets un autre, un peu plus théorique et plus pointu.

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