Croissance d'une fonction

[ouss99]

salut
soit f la fonction defini sur ]0,+inf[ par
f(x)=x[1-cos(π/x)]
montrer que f est strictement croissante sur ]1,+inf[

[capitaine nuggets]

Salut !

Oui et alors ? Qu'as-tu fais ? Quel(s) résultat(s) connais-tu sur la croissance d'une fonction ?
Essaie de mettre en lien cette exercice avec le chapitre que tu étudies en ce moment.

[ouss99]

j'ai derivée cette fonction mais je n'arrive pas a trouver le signe
f'(x)=1-cos(π/x)-(π/x)sin(π/x)

[pascal16]

sur [2;+oo[, on peut le montrer par des encadrements
sur ]1,+inf[, elle n'est pas décroissante, elle a un max vers 1.34-1.35

[ouss99]

c'est vrai j'ai utiliser une application de traçage de graphe et la fonction n'est pas croissante sur ]1,+inf[ peut etre l'exercice est incorrect

[ouss99]

mais comment peut on montrer quelle est decroissante sur ]2,+inf[ ??

[pascal16]

J'ai un peu présagé du résultat
Voici pour la seconde partie de l'équation :

soient 2<a<b <+oo
donc 0< pi/b < pi/a < pi/2

cos est décroit sur [0;pi/2]
0 < cos(pi/a) < cos(pi/b) < 1
0< 1-cos(pi/b) < 1-cos(pi/a)<1

[ouss99]

merci

[Tiruxa47]

Bonjour,

Pascal16 , il me semble que tu as oublié le x devant les parenthèses, or on ne peut l'obtenir car les inégalités ne sont pas dans le bon sens (pour obtenir f(b)<f(a)).

Perso, j'ai calculé la dérivée seconde qui est plutot sympa :



f" s'annule en 2 et f"(x)>0 si x >2
donc f' est strictement croissante sur [2;+inf[
Or f'(2)=1-pi/2 est strictement négatif et la limite de f' en +inf est 0
Donc f'<0 sur [2;+inf[
et f strictement décroissante sur[2;+inf[