Croissance par récurrence

[Lechero]

Waaaaaaahhh .... je ne comprends absolument rien !
J'ai compris l'erreur de mon égalité en haut, mais la suite après pour la limite je n'ai vraiment vraiment pas compris, désolé :(

En tout cas, merci de m'aider =)

[Mortelune]

Ok donc reprenons.

Tu as une suite définie par
Si sur un graphique tu traces les droites d'équation y=x et y=f(x) tu observes qu'il y a 1 point d'intersection.
Tu as du voir une méthode pour trouver les éléments successifs de la suite grâce à ce graphique en ayant et les 2 droites d'équation données avant.
On observe que la suite tend vers un point et c'est l'ordonnée de ce point que l'on cherche.

On voit que si on applique à ce point une itération de l' "algorithme" utilisé avant pour avoir quelques éléments successifs de la suite on aura en image ce même point.

Ce qui se traduit par l'égalité que je t'ai donné avant :
On se ramène à une équation du second degré en l à résoudre.

[Lechero]

Bonjour,

j'ai tracé les deux courbes sur Géogebra, et je trouve le point d'intersection à x=1,618... (nombre d'or)

[Mortelune]

Normal c'est ta solution :P

Fin la solution de l'équation en l que j'ai écrit au dessus ;)

[Lechero]

Non mais c'est bon, j'ai trouvé finalement ! =) Merci !

Mais voilà une autre question ^^ :

Je dois démontrer par récurrence que 3 minore une suite Un, avec Uo=4 et Un+1 =

Initialisation : Uo = 4 et 4>3 la propriété est vérifiée au rang 0

Hérédité: Soit p appartient à N un rand fiwé tel que la propriété est vraie, soit Up > 3
Montrons [...] soit Up+1 > 3
On a Up > 3
< (on a appliqué la fonction inverse qui est décroissante)
<
< 3
Up + < 3 + Up
(Up + ) < (3+Up)
Up+1 < (3+Up)

Mais ça ne démontre pas que 3 minore Up+1, j'ai du faire une erreur mais je la vois pas du tout ...

[Mortelune]

Tu n'as pas fait d'erreur, c'est juste que tu ne démontre pas ce qu'il faut ^^

Par contre on a :


Donc démontrer ton hérédité revient à trouver les racines du polynôme en (puisqu'on a l'hypothèse de récurrence qui affirme qu'il est supérieur à 3) ce que tu dois savoir faire (et ça marche je l'ai fait ).

[Lechero]

Up+1 > 3 on l'a dans l'hypothèse au rang p+1, nul part ailleurs...

Sinon j'ai compris, car le discriminant vaut 0, la solution vaut 4 donc Up+1 > 3
Mais comme je l'ai dit, Up+1 est uniquement dans l'hypothèse, donc je ne sais pas si on peut l'utiliser ...

Ce que tu as marqué, où-dois l'écrire par exemple ?

[Mortelune]

Comme on a des équivalences si tu montres la quatrième inégalité on a la première.

Tu peux par exemple dire :
Supposons Up>3, montrons que Up+1>3 ce qui revient à montrer que ... en effet on a ...

[Lechero]

Ah d'accord ! Donc dans l'hérédité, [...]
On a : Up > 3
Supposons que Up+1 > 3 (=) [...] (=) Up²-6Up+9 toujours positif, et donc que 3 minore Un.
On montre ainsi, bla bla bla ...

Merci beaucoup !

Est-ce la même chose si n > 3 ? Je dois d'abord démontrer avec n > 3 et après dire que c'est pour tout n de N...

[Mortelune]

Oui, puisqu'on a tout montré pour tout n une restriction ne change pas grand chose.

[Lechero]

D'accord d'accord !
Une dernière question et après j'arrête d'embêter le monde ^^

Comment montrer, par récurrence bien sûr, que Un - 3 < ?

Je ne sais même pas quoi dire dans l'initialisation ....

[Nightmare]

Justement, ce qu'était en train de te dire Benekire [...]

Toi aussi, au même titre que rebelle, tu devrais arrêter la fumette :lol3:

[Ben314]

Salut,
Ben l'initialisation est (comme toujours) trés façile :
Est il vrai que ?

Ensuite, pour l'hérédité, vu que la suite est géométrique de raison , je te suggérerais bien de commencer par montrer (sans récurrence...) que, pour tout n dans N, ...

[Lechero]

Bonsoir !

Justement, pour l'initialisation, j'ai essayé avec Uo (=4), et j'ai trouvé que 1 < 1, ce qui est faux ...

Ensuite, je n'ai pas compris pourquoi une suite géom apparaissait, tout comme l'histoire de prouver la dernière relation ...

Désolé mais moi et le suites, ça fait 2 !

[Mortelune]

Tu es certains de ton inégalité stricte ?
Ou sinon tu pars du rang 1 comme de toute manière ta suite est décroissante.

[Ben314]

Le petit problème, pour l'initialisation, c'est que tu nous a donné un énoncé qui ne veut rien dire :

Comment montrer, par récurrence bien sûr, que Un - 3 < ?

J'ai supposé que "le vrai" énoncé était :
"montrer, par récurrence bien sûr, que, pour tout , on a Un - 3 < "
ce qui fait que j'ai fait l'amorce avec n=1.

P.S. Je pense que pour comprendre les maths, un premier truc, c'est de comprendre le sens de ce qu'on écrit et donc d'écrire des choses qui ont du sens.
Si quelqu'un dans la rue te dit juste "gris" est ce que ça coule de source que, ce qu'il a voulu dire c'est "tout les chats sont gris" ?

[Lechero]

Oui, c'est bien ça :

Montrer par récurrence que pour tout n un entier naturel, Un - 3 <

L'inégalité est stricte

[Mortelune]

Donc il faut que tu changes ton énoncé parce que tu vois bien que pour n=0 il y a un problème, celui de Ben est donc meilleur ^^

[Lechero]

Donc :

Montrons par récurrence que pour tout n 1, Un - 3 <

Initialisation : U1 = 3.125 et U1 - 3 < (=) 0.125 < 0.5 La propriété est vérifiée au rang 1

Hérédité : Soit p un entier naturel un rang fixé tel que la propriété est vraie, soit Up - 3 <

Montrons qu'alors la propriété est vraie au rang p+1, soit Up+1 - 3 <

On a : Up - 3 <

et là comment je fais pour passer de p à p+1 ? ... (auparavant, j'ai étudié la fonction f(x) =

[Nightmare]

Salut,

comment passer de u(p) à u(p+1) en utilisant f?