Critere de divisibilité par 7.

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Anonyme

Critere de divisibilité par 7.

par Anonyme » 18 Mar 2006, 20:58

Bonjours,

j'ai à chercher sur le net un critère de divisibilité par 7. Et à en donner l'explication.
J'ai bien trouvé plusieur criteres, or je ne saurais les expliquer, c'est pourquoi je vous demanderai de bien vouloir, si vous le savez, m'expliquer ceci :
(je comprends le fonctionement, mais pas le raisonnement ;))

On découpe le nombre N entre l´avant-dernier chiffre et le dernier. On soustrait alors 2 fois le chiffre de droite du nombre de gauche. On obtient ainsi un nouveau nombre. Si le nombre N était un multiple de 7, le nouveau nombre que l´on a obtenu est encore un multiple de 7.
On répète cette opération jusqu´à ce que l´on obtienne un nombre pour lequel on voit immédiatement qu´il est multiple de 7.
Exemple :
Si N=31759
On découpe: 3175 | 9
On soustrait deux fois la partie droite de la partie gauche: 3175 – 2 x 9 = 3175 - 18 = 3157
On découpe: 315 | 7
On soustrait deux fois la partie droite de la partie gauche: 315 – 2 x 7 = 315 – 14 = 301
On découpe: 30 | 1
On soustrait deux fois la partie droite de la partie gauche: 30 – 2 x 1 = 28
Et 28 = 7*4.
Donc 31759 est bien un multiple de 7.


ou bien cette methode :

Prenons un (grand) nombre quelconque, par exemple: 69456489123.
Il faut d'abord le séparer (en commençant par la droite) en tranches de trois chiffres...
Cela donne ici :
069 456 489 123
Puis, en commençant par la droite, on ajoute le premier nombre de 3 chiffres, on soustrait le deuxième, on ajoute le troisième, on soustrait le quatrième, et ainsi de suite, en ajoutant et retranchant alternativement.
Ici, cela donne 123 - 489 + 456 – 69 = 21.
Si le nombre obtenu est divisible par 7, le nombre de départ est divisible par 7 ;
et ici, puisque 21 = 3 x 7, on peut en déduire que 69 456 489 123 est divisible par 7.



Merci de bien vouloir me répondre.
a bientot :)



allomomo
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par allomomo » 18 Mar 2006, 21:20

Salut,

la réciproque est vraie.

Anonyme

par Anonyme » 18 Mar 2006, 21:21

je suis en seconde ;)

et je n'ai strictement rien compris :)

Anonyme

par Anonyme » 19 Mar 2006, 12:27

s'il te plait allomomo ( ou quelqu'un d'autre ) peux tu un peu m'expliquer ce que cela veut dire ? :s

merci

Mikou
Membre Rationnel
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par Mikou » 19 Mar 2006, 14:23

c'est niveau spé maths ce que te donne momo

Anonyme

par Anonyme » 19 Mar 2006, 15:54

En faite ce que voulais dire allomomo, c'est que si A est un multiple de 7, alors le reste de la division euclidienne de A par 7 vaut 0, autrement dit, A=7*q+r et r=0...

Anonyme

par Anonyme » 19 Mar 2006, 16:32

oui ca je suis d'accord darko, :)
mais comment expliquer les criteres de divisibilité par 7 que j 'ai donné plus haut ?

abcd22
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par abcd22 » 19 Mar 2006, 16:46

Pour la première méthode, si tu pars d'un nombre N et que tu appelles N1 le nombre de gauche et a le chiffre de droite, on a : N = 10 N1 + a = 10 (N1 - 2a) + 21a.
7 divise 21a, donc si N est divisible par 7, N - 21 a = 10 (N1 - 2a) est divisible par 7, mais comme 7 est un nombre premier et ne divise pas 10, on a forcément 7 divise N1 - 2a.
Réciproquement, si 7 divise N1 - 2a, 7 divise aussi 10 (N1 - 2a) + 21a = N.

abcd22
Membre Complexe
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par abcd22 » 19 Mar 2006, 17:17

Pour la 2e méthode la façon naturelle d'expliquer c'est avec des congruences (ce dont parlait allomomo) mais ce n'est pas du tout au programme de seconde donc je vais essayer de faire sans...
Le découpage du nombre en tranches de 3, ça revient à écrire :

Il faut remarquer que si k est pair, , et si k est impair, . On peut le faire par récurrence, si k est pair par exemple, k = 2n, pour n = 0, 1000^0 = 1 et le résultat est vrai. On vérifie le cas n = 1 en faisant la division, pour montrer le rang n+1 à partir du rang n on écrit et en multipliant les écritures et 1000^2 = 142857×7 + 1 on trouve le résultat. Pour le cas impair, si on a le cas pair on écrit . Mais comme la récurrence ne doit pas non plus être vue en seconde tu peux montrer le résultat seulement pour les petits nombres (en faisant la division à la calculatrice) et dire que tu l'admets pour les plus grands nombres.
Une fois qu'on a ça, on remplace les puissances de 1000 et on regroupe tout ce qui est multiplié par 7 dans l'écriture de droite :
où M est le nombre obtenu avec la 2e méthode. Si N est divisible par 7, M = N - 7Q l'est aussi, et si M est divisible par 7, N = M + 7Q l'est.

Anonyme

par Anonyme » 19 Mar 2006, 22:58

Je te remerci abcd22 pour toutes ces explications ! :-)
J'ai à peu pres compris :-p

Anonyme

par Anonyme » 20 Mar 2006, 01:21

partir de 1000=(7+3)x(7+3)x(7+3) quand tu developpe tu trouves 7 multiples de 7 auquels s'ajoute 27 donc 1000 = 7xK+28-1 donc 1000 = 7xA-1

developpe (7xA-1)x(7xA-1) puis (7xA-1)x(7xB+1) pour comprendre la forme des 1000^k

il est aussi de notoriete publique que 1001 =7x11x13 ...

 

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