Coût de la garantie

[Utilie]

Bonjour,

Mon professeur de lycée nous a posé ce petit exercice de probabilité pour notre "réflexion".
Un magasin vend des machines à laver garanties 2 ans, à 200€ l'unité. Le gérant souhaite augmenter cette durée de garantie à 8 ans pour attirer de nouveaux clients. Il sait que réparer une machine tombée en panne lui coûte en moyenne 100€.
Il souhaite savoir de combien il doit augmenter le prix de vente de ces machines à laver pour compenser le coût de réparation des appareils qui tomberont en panne sur la période allongée de 6 ans.

Il a pour l'aider dans sa décision des statistiques sur le parc actuel de machines :

Le parc compte 20 000 appareils, répartis selon la pyramide d'âge suivante :
- Appareils qui ont entre 0 et 2 ans d'âge : 3000 machines ;
- Entre 2 ans + 1 jour et 5 ans: 5400 machines ;
- Entre 5 ans + 1 jour et 8 ans : 5600 machines ;
- Plus de 8 ans + 1 jour : 6000 machines.

On sait que sur l'année où sont réalisées ces statistiques, 1500 appareils sont tombés en panne. Les appareils tombés en panne étaient alors répartis selon les âges suivants :
- Appareils qui ont entre 0 et 2 ans d'âge : 200 pannes ;
- Entre 2 ans + 1 jour et 5 ans : 350 pannes (autrement dit, 350 des appareils tombés en panne avaient entre 2 ans + 1 j et 5 ans) ;
- Entre 5 ans + 1 jour et 8 ans : 400 pannes ;
- Plus de 8 ans + 1 jour : 550 pannes.

Mon idée :
Surcoût = Taux de panne entre 2 et 8 ans * Coût de la panne
La question est comment calculer ce "taux de panne entre 2 et 8 ans" ? Ce qui tombe en panne entre 0 et 2 ans et après 8 ans n'est pas un coût pour le gérant.

Mon idée est de calculer le complémentaire de l'événement "l'appareil ne tombe jamais en panne entre 2 et 8 ans" (autrement dit, l'appareil tombe au moins une fois en panne entre 2 et 8 ans).
Cela nous donne :
Taux de panne = 1 - (1-taux de panne annuel entre 2+1j et 5 ans)^3 * (1-taux de panne annuel entre 5+1j et 8 ans)
Autrement dit, on regarde un appareil, et pour chaque année de sa vie, on regarde sa probabilité de tomber en panne. Puis on prend le complémentaire.

Seulement je coince dans mon raisonnement. Le taux de panne annuel entre 2+1j et 5 ans (et entre (5+1j et 8 ans) correspond-il :
- Choix 1 : au nombre de pannes pour des appareils entre 2+1j et 5 ans (soit 350 pannes) rapporté au parc total (20 000)
- Choix 2 : au nombre de pannes pour des appareils entre 2+1j et 5 ans (soit 350 pannes) rapporté au parc des appareils entre 2+1j et 5 ans (soit 3 000).

Qu'en pensez-vous ?

[Jérôme]

Il y a un problème dans l'énoncé, si il veut jouer sur le prix de vente, on doit savoir combien de machines il vend par an.
Ainsi (surcoût total annuel) divisé par (nombre de machines vendues sur un an) = augmentation du prix unitaire.