Un DM court, mais compliqué...

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Mediane
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Un DM court, mais compliqué...

par Mediane » 20 Fév 2013, 15:31

Bonjour, j'ai un DM que l'on m'a donné vendredi et je dois finir pour vendredi. Je me suis cresé la tête à le faire mais je bloque vraiment. J'ai fais une figure (les mesures sont pas proportionnelles ).

L'ENONCE:
Soient ABC un triangle quelconque. Soient A', B' et C' les milieux respectifs des segments [BC], [AC], et [AB]. Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Vous pouvez completer la figure de la derniere question au fur et à mesure.
Caracterisation vectorielle du centre de gravité:
1) Demontrer que le vecteur AA'=1/2( vecteur AB + vecteur AC).
2) Démontrer que vecteur AA' + vecteur BB' + vecteur CC' = vecteur nul.
3) Demontrer que le centre de gravité G du triangle verifie que vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC = vecteur nul.
4) En deduire que pour tout point M du plan, on a vecteur MA + vecteur MB + vecteur MC = 3 vecteur MG.

Caracterisation vectorielle de l'orthocentre:
Soit H le point qui vérifie la relation vecteur OH = vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC.
1) Justifier que vecteur OB + vecteur OC = 2 vecteur OA'.
2) En deduire que vecteur AH = 2 vecteur OA'.
3) Demontrer que (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
4) Demontrer que le point H est l'orthocentre du triangle ABC.

Droite d'Euler:
Soient O le centre du cercle circonscrit, H l'orthcentre et G le centre de gravité du triangle ABC.
1) A l'aide des questions precedentes, demontrer que vecteur OH = 3 vecteur OG.
2) En deduire que les points O, H et G sont alignés. La droite passant pas ces trois points s'appelle la droite d'Euler.
Tracer la droite d'Euler du triangle ABC, utiliser differentes couleurs pour les medianes, les hauteurs et les mediatrices.



siger
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par siger » 20 Fév 2013, 16:18

bonjour,
Tout est en vecteurs
centre de gravité: barycentre G tel que AG / AA' = 2/3
1) AA' = AB + BA'
AA' = AC + CA'
d'ou 2AA' = AB + AC puisque BA' + CA'= 0
2) remplacer AA' BB' et CC. par leur valeur ...
3) AA'= AG+ GA',....
4) MA=MG+GA, .....

Mediane
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par Mediane » 20 Fév 2013, 17:18

siger a écrit:bonjour,
Tout est en vecteurs
centre de gravité: barycentre G tel que AG / AA' = 2/3
1) AA' = AB + BA'
AA' = AC + CA'
d'ou 2AA' = AB + AC puisque BA' + CA'= 0
2) remplacer AA' BB' et CC. par leur valeur ...
3) AA'= AG+ GA',....
4) MA=MG+GA, .....


Merci siger.

siger
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par siger » 20 Fév 2013, 17:46

Suite:
Orthocentre
1/ idem premiere question
2/ AH = OA-OH,...
3/ O centre du cercle circonscrit d'ou OA' perpendiculaire a BC

Droite Euler
1/ OH = ...avec GA + GB + GC=0, ....
2/ OH prportionnel a OG, ....

Mediane
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par Mediane » 20 Fév 2013, 18:25

siger a écrit:Suite:
Orthocentre
1/ idem premiere question
2/ AH = OA-OH,...
3/ O centre du cercle circonscrit d'ou OA' perpendiculaire a BC

Droite Euler
1/ OH = ...avec GA + GB + GC=0, ....
2/ OH prportionnel a OG, ....


Est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour le 2) de la deuxième partie s'il vous plaît?

siger
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par siger » 20 Fév 2013, 19:42

que veut dire
2OA' + (A'B=A'C) ?

on doit avoir 2OA' + (A'B + A'C)
et A' est ...., d'ou.....

Mediane
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par Mediane » 20 Fév 2013, 19:48

siger a écrit:que veut dire
2OA' + (A'B=A'C) ?

on doit avoir 2OA' + (A'B + A'C)
et A' est ...., d'ou.....


J'ai fais un calcul mais je ne suis pas sure:
1) OB + OC = (OA'+A'B) + (OA'+A'C)
= 2OA'+(A'B+A'C)
= 2OA'+(A'B-A'B)
= 2OA'+(A'B+BA')
= 2OA'+A'A'
= 2OA'+0
=2OA'

Mediane
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par Mediane » 20 Fév 2013, 19:58

Est ce juste?

Mediane
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par Mediane » 20 Fév 2013, 20:01

Mediane a écrit:Est ce juste?

S'il vous plaît aidez moi :triste:

siger
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par siger » 20 Fév 2013, 20:17

Mediane a écrit:S'il vous plaît aidez moi :triste:


Oui, mais ...
Pour passer de la ligne 2 a la ligne 3 tu as ecrit que A'C = - A'B (A' milieu de BC)
d'ou A'B + A'C = 0
et
OB + OC = 2OA' !

Mediane
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par Mediane » 20 Fév 2013, 20:20

Mediane a écrit:S'il vous plaît aidez moi :triste:

Est ce qu'il faut décomposer les vecteurs?

Mediane
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par Mediane » 20 Fév 2013, 20:24

siger a écrit:Oui, mais ...
Pour passer de la ligne 2 a la ligne 3 tu as ecrit que A'C = - A'B (A' milieu de BC)
d'ou A'B + A'C = 0
et
OB + OC = 2OA' !

Alors j'ai faux tout le calcul?

Mediane
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par Mediane » 20 Fév 2013, 20:44

J'ai compris. Mais par contre pour démontrer que AH et perpendiculaire a BC je ne vois pas pourquoi on doit dire que OA' et perpendiculaire a BC.

siger
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par siger » 20 Fév 2013, 20:46

Mais non!
ton calcul est juste mais un peu compliqué
Si A'B + A'C = 0
alors on a evidemment
A'B + A'C = A'B- A'B = A'B + BA' = A'A' = 0 !!!!!!!

siger
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par siger » 20 Fév 2013, 20:52

Mediane a écrit:J'ai compris. Mais par contre pour démontrer que AH et perpendiculaire a BC je ne vois pas pourquoi on doit dire que OA' et perpendiculaire a BC.


tu ne connais pas la position de H, tu sais simplement que OH = OA+OB+OC

Tu as demontré que AH = 2OA'
mais O est le centre du cercle circonscrit a ABC donc O est sur la mediatrice OA' de BC et si AH est parallele a OA', AH est perpendiculaire a BC

AH est donc une hauteur du triangle.
Le même raisonnement est valable avec HB et OB',HC et OC'
donc H sur les trois hauteurs est l'hortocentre du triangle.

Mediane
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par Mediane » 20 Fév 2013, 21:19

[quote="siger"]tu ne connais pas la position de H, tu sais simplement que OH = OA+OB+OC

Tu as demontré que AH = 2OA'
mais O est le centre du cercle circonscrit a ABC donc O est sur la mediatrice OA' de BC et si AH est parallele a OA', AH est perpendiculaire a BC.[quote="siger"]

Mediane
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par Mediane » 20 Fév 2013, 21:58

O est sur la médiatrice de OB' de CA et si BH est // a OB', alors BH est perpendiculaire a AC et c'est donc la hauteur du triangle ABC issue de B. Donc H est bien l'orthocentre sur les trois hauteurs.

La droite d'Euler:
2) Comme OH equivaut à 3OG, alors cela signifie que les vecteurs sont colineaires, et ses deux vecteurs colineaires prouvent bien que les 3 points O, H et G sont alignés.
Ca suffit?

siger
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par siger » 20 Fév 2013, 22:21

oui,
si tu as démontré OH= 3OG

Terminé!

 

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