Courbes orthogonales 1°S

[Anonyme]

bonjour, j'ai un probleme pour un exercice. voici l'enoncé: (il n'y a aucun rapport entre les question 1 et 2; 1 et 3.

1) "On dit que 2 courbes sont orthogonales lorsqu'elles se coupent et admettent en leur(s) point(s) d'intersection des tangentes orthogonales". Montrer que les courbes C et C' sont orthogonales:

C:y=1/x et C':y=1/(2-x)

Méthode: determiner les abscisses des points d'intersection, calculer le nombre dérivé en ces points, et vérifier la condition d'orthogonalité ("aa'=-1").

2) Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse "a" à la parabole "P" d'équation y=x²-4x+5.
(On sait seulement que la réponse est y=(2a-4)x-a²+5.)

3) En quels points de "P" peut-on mener une tangente issue de l'origine? Vérifier sur un dessin.

Pouvez vous m'aider? merci beaucoup!!

[becirj]

Bonjour
1. Commence par chercher l'abscisse du point d'intersection des 2 courbes en résolvant l'équation , ce n'est pas bien difficile.
Calcule ensuite les fonctions dérivées . Le nombre dérivé de chacune des fonctions pour x égal à l'absisse du point d'intersection donne le coefficient directeur des tangentes. Il ne restera plus qu'à montrer qu'elles sont orthogonales.

[Anonyme]

Merci pour le 1!!

En revanche j'ai du fil a retordre pour le 2...
Quelqun peut m'aider? merci beaucoup!

[moroccan]

La prmière étape : connaître l'abscisse (x) du point d'intersection (voir becirj), appelons-le Xo

La deuxième étape : calculer les valeurs des dérivées des deux fonction au point d'intersection que nous appellerons a et b.

a et b ne sont que les coefficients directeurs des droites tangentes aux deux courbes (respectivement) au point Xo.

Tu as sûrement appris auparavant que deux droites D1 et D2 (non verticales et non horizontales) sont perpendiculaires si et seulement si : coefficient directeur de D1 x coefficient directeur de D2 = ..... ? A toi de terminer.

[moroccan]

PS. Soit la droite D d'équation y = ax+b

a est appelé coefficient directeur de D, ou pente de D!

[becirj]

Pour la seconde question : soit f la fonction définie par .
donc le nombre dérivé au point d'abscisse a est 2a-4, ce qui représente le coefficient directeur de la tangente, elle a donc pour équation : y=(2a-4)x+b.
Il reste à déterminer b. Le point d'abscisse a de la parabole P a pour ordonnée
. ce point appartient aussi à la tangente donc ses coordonnées vérifient l'équation de la tangente soit :


L'équation de la tangente est donc

3. la tangente passe par l'origine si les coordonnées de 0 soit (0,0) vérifient l'équation de la tangente. En remplaçant x et y par 0 dans l'équation , tu obtindras une équation du second degré d'inconnue a dont les solutions sont les abscisses des points où la tangente passe par O.