[TS]cosinus , sinus, notation exponentielle

[Anonyme]

Bonsoir,
J'ai une petite difficulté à trouver quelque chose.

On me demande de prouver que :

S(e(i*pi*k/n),k,0,n-1) = 2/( 1 - e(i*pi/n) Avec n qui est fixe. (S
= sigma = somme)
J'ai fait un petit raisonnement, disant que si :
S(a^k,k,0,n) = (a^(n+1)-1)/ a -1 , et j'ai travaillé sur ca par
"substitution" .. ( a = e(i*pi/n) )

Apres on nous demande D'EN DEDUIRE que :
S(sin(k*pi/n),k,0,n-1) = [cos(pi/2n)] / [sin(pi/2n) ]

J'ai fait un truc relativement compliqué, en utilisant la notation
exponentielle du sinus, mais j'arrive à :
S(sin(k*pi/n),k,0,n-1) = [-2*i*sin(pi/n)] / [cos(pi/n) - 1/2] , et
là, soit j'ai pas bien fait, soit j'arrive pas à passer de l'un à
l'autre.

Merci de bien vouloir m'eclairer sur le sujet.

--
G

PS : il s'agit d'un sujet d'annabac de Nouvelle Calédonie de 1990,
tiré surement d'un annabac.

[Anonyme]

Dans le message:406c428e$0$8919$636a15ce@news.free.fr,
Ghostux a écrit:
> Bonsoir,

Bonjour

> J'ai une petite difficulté à trouver quelque chose.
>
> On me demande de prouver que :
>
> S(e(i*pi*k/n),k,0,n-1) = 2/( 1 - e(i*pi/n) Avec n qui est fixe. (S
> = sigma = somme)
> J'ai fait un petit raisonnement, disant que si :
> S(a^k,k,0,n) = (a^(n+1)-1)/ a -1 , et j'ai travaillé sur ca par
> "substitution" .. ( a = e(i*pi/n) )

Oui. En fait tu appliques la formule générale à ton cas, je
n'appellerais pas ça une substitution.

> Apres on nous demande D'EN DEDUIRE que :
> S(sin(k*pi/n),k,0,n-1) = [cos(pi/2n)] / [sin(pi/2n) ]
>
> J'ai fait un truc relativement compliqué, en utilisant la notation
> exponentielle du sinus, mais j'arrive à :
> S(sin(k*pi/n),k,0,n-1) = [-2*i*sin(pi/n)] / [cos(pi/n) - 1/2] , et
> là, soit j'ai pas bien fait, soit j'arrive pas à passer de l'un à
> l'autre.

Erreur certainement (tu trouves un réel = un imaginaire).
La somme des sinus est la partie imaginaire de la somme des
exponentielles complexes. Le résultat est donc la partie imaginaire de
2/( 1 - e(i*pi/n)).
Im(2/z)= Im(2z*)/zz* (avec z* le conjugué de z=1-e(i*pi/n))
Im(2z*)=2 sin(pi/n)=4 sin(pi/2n) cos(pi/2n)
zz*=(1-cos(pi/n))² + (sin(pi/n))² = 2 - 2 cos (pi/n) = 4 sin²(pi/2n)
D'où le résultat.

On peut aussi chercher par sin(x)=[e(i*x)-e(-i*x)]/2i, ça revient au
même.

--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

"bc92" a écrit dans le message de news:
406c4816$0$15493$626a14ce@news.free.fr...
> Dans le message:406c428e$0$8919$636a15ce@news.free.fr,
> Ghostux a écrit:[color=green]
> > Bonsoir,
>
> Bonjour
>
> > J'ai une petite difficulté à trouver quelque chose.
> >
> > On me demande de prouver que :
> >
> > S(e(i*pi*k/n),k,0,n-1) = 2/( 1 - e(i*pi/n) Avec n qui est fixe.[/color]
(S[color=green]
> > = sigma = somme)
> > J'ai fait un petit raisonnement, disant que si :
> > S(a^k,k,0,n) = (a^(n+1)-1)/ a -1 , et j'ai travaillé sur ca par
> > "substitution" .. ( a = e(i*pi/n) )
>
> Oui. En fait tu appliques la formule générale à ton cas, je
> n'appellerais pas ça une substitution.
>[/color]

Oui effectivment c'en est pas une, d'où le fait que je l'ai mis entre
guillements, ne connaissant pas autre terme qu'adaptation.
[color=green]
> > Apres on nous demande D'EN DEDUIRE que :
> > S(sin(k*pi/n),k,0,n-1) = [cos(pi/2n)] / [sin(pi/2n) ]
> >
> > J'ai fait un truc relativement compliqué, en utilisant la notation
> > exponentielle du sinus, mais j'arrive à :
> > S(sin(k*pi/n),k,0,n-1) = [-2*i*sin(pi/n)] / [cos(pi/n) - 1/2] ,[/color]
et[color=green]
> > là, soit j'ai pas bien fait, soit j'arrive pas à passer de l'un à
> > l'autre.
>
> Erreur certainement (tu trouves un réel = un imaginaire).[/color]

Non en fait il faut diviser par 2i apres, et on trouve bien un reel =
un reel . ( La calculatrice me "dit" que c'est bon le resultat) .

> La somme des sinus est la partie imaginaire de la somme des
> exponentielles complexes. Le résultat est donc la partie imaginaire
de
> 2/( 1 - e(i*pi/n)).
> Im(2/z)= Im(2z*)/zz* (avec z* le conjugué de z=1-e(i*pi/n))
> Im(2z*)=2 sin(pi/n)=4 sin(pi/2n) cos(pi/2n)
> zz*=(1-cos(pi/n))² + (sin(pi/n))² = 2 - 2 cos (pi/n) = 4 sin²(pi/2n)
> D'où le résultat.
>

...... "rien compris" . enfin si j'ai compris le principe, mais
c'est pas du tout ce que j'ai commencé à faire. Enfin ca c'est pas
très grave. Le plus "grave" je pense, c'est que je ne connais pas :
ca : (1-cos(pi/n))² + (sin(pi/n))² = 2 - 2 cos (pi/n) = 4
sin²(pi/2n)

Je suis arrivé à :

[2*(e(-i*pi/n)-e(i*pi/n)] / [e(-i*pi/n) + e(i*pi/n) - 2] =
S(sin(k*pi/n),k,0,n-1)

Je vais essayer avec ce que vous m'avez donné, et on vera bien .
Merci .

G

[Anonyme]

Ghostux :

> J'ai fait un petit raisonnement, disant que si :
> S(a^k,k,0,n) = (a^(n+1)-1)/ a -1 , et j'ai travaillé sur ca par
> "substitution" .. ( a = e(i*pi/n) )

Si tu peux revoir la démo de cette formule, tu remarqueras qu'elle
marche aussi avec les nombres complexes (les règles de calcul sont
quasiment les mêmes).

> il s'agit d'un sujet d'annabac de Nouvelle Calédonie de
> 1990, tiré surement d'un annabac.

C'est même sûr..

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

"Michel" a écrit dans le message de news:
XnF94BECC26A9E8Emichel@212.129.5.2...
> Ghostux :
>[color=green]
> > J'ai fait un petit raisonnement, disant que si :
> > S(a^k,k,0,n) = (a^(n+1)-1)/ a -1 , et j'ai travaillé sur ca par
> > "substitution" .. ( a = e(i*pi/n) )
>
> Si tu peux revoir la démo de cette formule, tu remarqueras qu'elle
> marche aussi avec les nombres complexes (les règles de calcul sont
> quasiment les mêmes).[/color]

Oui , mais c'est après que je bloque

G

[Anonyme]

Dans le message:406c532f$0$14153$636a15ce@news.free.fr,
Ghostux a écrit:
> "bc92" a écrit dans le message de news:
> 406c4816$0$15493$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
>> Dans le message:406c428e$0$8919$636a15ce@news.free.fr,
>> Ghostux a écrit:[color=darkred]
>>>
>>> S(e(i*pi*k/n),k,0,n-1) = 2/( 1 - e(i*pi/n) Avec n qui est fixe. (S
>>> = sigma = somme)[/color]
>[color=darkred]
>>> Apres on nous demande D'EN DEDUIRE que :
>>> S(sin(k*pi/n),k,0,n-1) = [cos(pi/2n)] / [sin(pi/2n) ][/color]
>
>> La somme des sinus est la partie imaginaire de la somme des
>> exponentielles complexes. Le résultat est donc la partie imaginaire
>> de 2/( 1 - e(i*pi/n)).
>> Im(2/z)= Im(2z*)/zz* (avec z* le conjugué de z=1-e(i*pi/n))
>> Im(2z*)=2 sin(pi/n)=4 sin(pi/2n) cos(pi/2n)
>> zz*=(1-cos(pi/n))² + (sin(pi/n))² = 2 - 2 cos (pi/n) = 4 sin²(pi/2n)
>> D'où le résultat.
>
> ..... "rien compris" . enfin si j'ai compris le principe, mais
> c'est pas du tout ce que j'ai commencé à faire. Enfin ca c'est pas
> très grave. Le plus "grave" je pense, c'est que je ne connais pas :
> ca : (1-cos(pi/n))² + (sin(pi/n))² = 2 - 2 cos (pi/n) = 4
> sin²(pi/2n)[/color]

J'ai du aller trop vite...
Tu as montré en 1) que S(e(i*pi*k/n),k,0,n-1) = 2/( 1 - e(i*pi/n))
Maintenant tu cherches S(sin(k*pi/n),k,0,n-1)
J'ai juste rappelé que sin(k*pi/n) = Im [e(i*k*pi/n)]
donc S(sin(k*pi/n),k,0,n-1) = Im [2/( 1 - e(i*pi/n))]
Après j'ai fait
2/( 1 - e(i*pi/n)) = 2/(1-cos(pi/n)-i*sin(pi/n))
j'ai multiplié en haut et en bas par le conjugué du dénominateur.Le
dénominateur devient ainsi réel (un complexe multiplié par son
conjugué).

Au numérateur j'obtiens 2(1-cos(pi/n) + i*sin(pi/n))
dont on prend la partie imaginaire : 2 sin(pi/n)
Elle s'écrit aussi : 4 sin(pi/2n) cos(pi/2n).

Au dénominateur j'obtiens une expression du type:
(a+i*b)(a-i*b) qui vaut a²+b², c'est à dire:
(1-cos(pi/n))² + (sin(pi/n))², soit:
1 +cos²(pi/n) - 2 cos(pi/n) +sin²(pi/n), soit:
2 - 2 cos(pi/n)
Enfin j'ai utilisé cos(pi/n)=1-2sin²(pi/2n)
Le dénominateur vaut ainsi 4 sin²(pi/2n)

et la somme de sinus cherchée vaut bien :
4 sin(pi/2n) cos(pi/2n)/ 4 sin²(pi/2n)
= cos(pi/2n)/sin(pi/2n)

> Je suis arrivé à :
>
> [2*(e(-i*pi/n)-e(i*pi/n)] / [e(-i*pi/n) + e(i*pi/n) - 2] =
> S(sin(k*pi/n),k,0,n-1)

Ce n'est pas très loin du résultat, il y a juste ce i qui va rester au
numérateur

> Je vais essayer avec ce que vous m'avez donné, et on vera bien .
> Merci .
>
> G

--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

"bc92" a écrit dans le message de news:
406c84f1$0$14534$626a14ce@news.free.fr...
> Dans le message:406c532f$0$14153$636a15ce@news.free.fr,
> Ghostux a écrit:[color=green]
> > "bc92" a écrit dans le message de news:
> > 406c4816$0$15493$626a14ce@news.free.fr...[color=darkred]
> >> Dans le message:406c428e$0$8919$636a15ce@news.free.fr,
> >> Ghostux a écrit:
> >>>
> >>> S(e(i*pi*k/n),k,0,n-1) = 2/( 1 - e(i*pi/n) Avec n qui est fixe.[/color][/color]
(S[color=green][color=darkred]
> >>> = sigma = somme)
> >
> >>> Apres on nous demande D'EN DEDUIRE que :
> >>> S(sin(k*pi/n),k,0,n-1) = [cos(pi/2n)] / [sin(pi/2n) ]
> >
> >> La somme des sinus est la partie imaginaire de la somme des
> >> exponentielles complexes. Le résultat est donc la partie[/color][/color]
imaginaire[color=green][color=darkred]
> >> de 2/( 1 - e(i*pi/n)).
> >> Im(2/z)= Im(2z*)/zz* (avec z* le conjugué de z=1-e(i*pi/n))
> >> Im(2z*)=2 sin(pi/n)=4 sin(pi/2n) cos(pi/2n)
> >> zz*=(1-cos(pi/n))² + (sin(pi/n))² = 2 - 2 cos (pi/n) = 4[/color][/color]
sin²(pi/2n)[color=green][color=darkred]
> >> D'où le résultat.
> >
> > ..... "rien compris" . enfin si j'ai compris le principe, mais
> > c'est pas du tout ce que j'ai commencé à faire. Enfin ca c'est pas
> > très grave. Le plus "grave" je pense, c'est que je ne connais pas[/color][/color]
:[color=green]
> > ca : (1-cos(pi/n))² + (sin(pi/n))² = 2 - 2 cos (pi/n) = 4
> > sin²(pi/2n)
>
> J'ai du aller trop vite...
> Tu as montré en 1) que S(e(i*pi*k/n),k,0,n-1) = 2/( 1 - e(i*pi/n))
> Maintenant tu cherches S(sin(k*pi/n),k,0,n-1)
> J'ai juste rappelé que sin(k*pi/n) = Im [e(i*k*pi/n)]
> donc S(sin(k*pi/n),k,0,n-1) = Im [2/( 1 - e(i*pi/n))]
> Après j'ai fait
> 2/( 1 - e(i*pi/n)) = 2/(1-cos(pi/n)-i*sin(pi/n))
> j'ai multiplié en haut et en bas par le conjugué du dénominateur.Le
> dénominateur devient ainsi réel (un complexe multiplié par son
> conjugué).
>
> Au numérateur j'obtiens 2(1-cos(pi/n) + i*sin(pi/n))
> dont on prend la partie imaginaire : 2 sin(pi/n)
> Elle s'écrit aussi : 4 sin(pi/2n) cos(pi/2n).
>
> Au dénominateur j'obtiens une expression du type:
> (a+i*b)(a-i*b) qui vaut a²+b², c'est à dire:
> (1-cos(pi/n))² + (sin(pi/n))², soit:
> 1 +cos²(pi/n) - 2 cos(pi/n) +sin²(pi/n), soit:
> 2 - 2 cos(pi/n)
> Enfin j'ai utilisé cos(pi/n)=1-2sin²(pi/2n)
> Le dénominateur vaut ainsi 4 sin²(pi/2n)
>
> et la somme de sinus cherchée vaut bien :
> 4 sin(pi/2n) cos(pi/2n)/ 4 sin²(pi/2n)
> = cos(pi/2n)/sin(pi/2n)
>
> > Je suis arrivé à :
> >
> > [2*(e(-i*pi/n)-e(i*pi/n)] / [e(-i*pi/n) + e(i*pi/n) - 2] =
> > S(sin(k*pi/n),k,0,n-1)
>
> Ce n'est pas très loin du résultat, il y a juste ce i qui va rester[/color]
au
> numérateur
>


Ah oui, là c'est effectivement beaucoup plus clair. Je suis bien
avancé avec tout ca, je vous remercie beaucoup de tous vos détails à
une telle heure.
Bonne nuit

G