Correction - exercice sur les fonctions

[Victor75]

Bonjour à tous,

J'ai proposé une réponse qui n'est pas celle de la correction de mon cours. J'aimerais savoir si c'est correct (ou du moins si l'intuition de départ est bonne) ou si c'est faux.

Soient f définie sur R par: f(x) = x+racine(x²+1) et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (0, I, J).
1) Montrer que pour tout réel x, (x+racine(x²+1))(-x+racine(x²+1))>0
2) En déduire le signe de f(x)

Réponse du cours:
1) Le corrigé a recours à l'identité remarquable (a+b)(a-b) => a²-b² pour conclure ensuite que c'est >0.
2) disjonction de cas avec x>=0 puis x<0 pour conclure que f(x)>0.

Je n'ai pas vu l'identité remarquable... j'avais gribouillé ceci:

On sait que racine(x) est défini si x>=0.
Donc x+racine(x²+1) est défini si x>=0.
Donc f(x) est positive sur R. (j'ai répondu à la question 2 avant la 1)

(-x+racine(x²+1)) est sur ]1;+infini[
On a donc 0 < racine(x) < x <x²
Donc racine(x²+1) < x
La fonction racine carrée conserve l'ordre donc -x > -racine(x²+1) donc -x+racine(x²+1) > 0.
Le produit de facteurs >0 est >0 donc pour tout réel x, (x+racine(x²+1))(-x+racine(x²+1))>0.

Auriez-vous la gentillesse de me donner votre avis ?

Merci d'avance de vos lumières,
Victor

[felzz]

Salut ! L'utilisation de l'identité remarquable est une autre manière de prouver la positivité du produit, mais elle n'est pas obligatoire et ton raisonnement est tout à fait juste ^^

[Victor75]

Chouette alors.
Merci de la réponse,
Victor