Coordonnées du pied de la hauteur

[clecocq]

Bonjour,

dans un repère orthonormal, je connais les coordoonées des sommets d'un triangle ABC et je voudrait connaitre les coordonnées de H (pied de la hauteur issu de A)...

Quelqu'un connaiterez t'il une formule pour calculer cela ?

Merci d'avance ...

[fonfon]

salut, as-tu vu le produit scalaire ?

[clecocq]

C'est possible, mais je n'en ai plus souvenir... Je n'ai jamais été très doué en maths :triste:

[oscar]

Bonjour

Soit le triangle ABC , le point A (xA;yA) dans un repére et la base[ BC]
ou B(xB:yB) et C(xC;yC) et H(xH;yH) pied de la hauteur issue de A )

Tu calcules le coéfficient directeur de [BC] soit (yC-yB)/(xC-xB)= m
Le coefficient dir. de AH sera - 1/m
Tu calcules les équations de (BC) et (AH) puis leur intersection H

[azertytreza]

Salut

dans un triangle non plat on peut remarquer qu'au maximum un seul des trois angles issues des sommets est droit

on peut alors en profiter par exemple ici pour écrire le pied de la hauteur issue de A sans se soucier de coordonnées cartésiennes





avec

[azertytreza]

...et elle fonctionne même pour un triangle rectangle

(je voulais poster l'image en éditant mon post précédent mais c'est bizarre il n'y a pas d'icône pour modification et en plus de ça il y a une faute d'orthographe )

[chan79]

Bonjour
Bel effort, @azertytreza mais trouver les valeurs exactes des coordonnées de H me parait très long.
On peut bien calculer les valeurs exactes des cosinus mais ensuite ... J'ai essayé avec A(4;7) B(1;2) C(3;6)
La méthode de @oscar, que je salue au passage, est simple et rapide.

[azertytreza]

Bonjour Chan


bah il n'y en a aucun (d'effort) les facteurs (scalaires) ce ne sont que les coordonnées barycentriques normalisées du pied de la hauteur

(la somme vaut un)

et tout se démontre facilement

[azertytreza]

ceci dit je reviendrai pour la démo (elle est d'une simplicité monstrueuse)

et je trouve que ça serait bien de la poser comme exo

[azertytreza]

je donne trois pistes pour la démo (et une interdiction absolue)

il est interdit d'effectuer la démo en utilisant des coordonnées cartésiennes

(ceci dit en disant cela c'est comme si j'avais tout dit)

1) on sait que le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique

2)on sait que

3)on sait que le projeté orthogonal d'un point H sur une droite (BC) vérifie

[chan79]

OK
tu trouves quoi avec A(4;7) B(1;2) C(3;6) ?

[azertytreza]

OK
tu trouves quoi avec A(4;7) B(1;2) C(3;6) ?

en coordonnées barycentriques normalisées je trouve

je trouve





ça donne

mais je te rappelle qu'il est interdit d'utiliser des coordonnées cartésiennes

il fallait me donner a,b,c là j'ai été obligé de les calculer

[azertytreza]

je pose la question puisque personne ne me la pose(ceci dit c'est dimanche)

que se passe t-il si on remplace H par A?

eh bien c'est comme cela qu'on obtient H (une pierre deux coups)

ce sont justement u,v,w qui sont les coordonnées barycentriques normalisées de H

[azertytreza]

... et donc (comme je l'ai dit mais sans le montrer) quand on remplace H (l'orthocentre ) par A (le sommet A) on obtient