Convexite de la fonction ln

[Chelchu]

Bonjour tout le monde,
Je suis en TS et je suis en train de bosser un devoir maison mais la je bloque ! Voila mon probleme:

Exercice 4 :
La fonction logarithme Neperien est elle convexe ?

Je suis parti de ce que je sais de la convexite c'est a dire :
une fonction est convexe sur un intervalle I ssi:
f((x+y)/2) < ( f(x) + f(y) )/2 avec x et y appartenant à I
Ainsi je developpe chaque membre et je fait la difference pour voir si ca marche
Je trouve f((x+y)/2 = ln(x/2) * ln (y/2)
= (lnx -ln2)*(lny-ln2)

et (f(x) + f(y))/2 = (lnx)/2 +(lny) / 2

J'arrive en faisant la difference à :
ln(x+y) - ln(2+y) - ln(2+x) + (ln2)² - ln(x^1/2) - ln(y^1/2)

Voila à partir de la je bloque je ne vois pas comment trouver le signe.
Je ne suis peut etre pas parti sur la bone piste en faisant la difference mais cela me parait la seule chose à faire.

Merci d'avance de votre aide

[Chelchu]

merci bcp pour ton aide precieuse ! en effet c'est bien la solution c'etait evident en plus !
Merci encore

[fahr451]

bonjour
une remarque :
convexe = inégalité large

strictement convexe = inégalité stricte pour x et y différents.

f concave ssi -f convexe.

donc ln est mieux que non convexe elle est concave (strictement)

[Chelchu]

Oui c'est vrai ca ! Mais dans l'enonce c'etait inferieur ou egal seulement je ne sait pas comment faire ca avec mon clavier. Desole et merci de la precision

[bitonio]

Tu peux aussi utiliser si f est f est convexe ssi

Comme <0, alors elle n'est pas convexe

[Chelchu]

Merci de ta precision bitonio mais j'ai pas encore vu cette formule donc je pense que je vais utiliser l'autre methode qu'on a etudiee en classe
Merci qd meme

[bitonio]

Ca roule Enfin tu peux te rappeler de ça pour vérifier rapidement

alors f convexe (f'' > 0 convexe strict)
f'' f convexe et concave (fonction affine)

A plus

[Chelchu]

ca marche c sur que ca va bien plus vite de deriver deux fois que de faire ts les calculs
Merci

[bitonio]

Encore faut-il que la fonction soit dérivable deux fois ;) Sinon effetivement c'est pratique

[Chelchu]

ouais t'as raison!! mais bon en term dans un DS on demande pas souvent de demontre la convexite ... ou alors c la denriere question d'un exo
Merci

[bitonio]

Et en terminale toutes les fonctions sont dérivables deux fois je pense :)

[Chelchu]

bitonio si tu avais une idee pour mon post inequation compliquee je t'en serait franchement reconnaissant ;) parceque la je skotche vraiment un peu complique ce DM

[bitonio]

je regarde

[Chelchu]

Rain ca doit pas etre au programme mais mon prof de maths tient a ses 100% de reussite et aime la difficulte ... D'ailleurs si tu veux voir la difficulte ya un post qui s'appelle inequation compliquee !! c le dernier exo de mon DM et la je cale

[Chelchu]

merci bitonio et rain