Convergence simple, uniforme

[Anonyme]

Quelqu'un pourrait-il me donner un exemple de suite de fonctions
continues convergeant simplement mais non uniformement vers une fonction
continue, le tout sur un compact (intervalle borne de R^n en fait)?
Parce que je n'arrive pas a trouver de contre-exemple facilement ni a
trouver un theoreme reliant les deux types de convergence avec les
proprietes susdites.

Merci beaucoup.

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard
http://www.via.ecp.fr/~genji

[Anonyme]

Solution dans "Les contre-exemples en mathématiques", Bertrand Hauchecorne,
ed. Ellipses page 105, §6.

Le théorème que tu cherches est probablement le théorème de Dini.

Bon courage...
Hervé

"Nicolas Le Roux" a écrit dans le message de news:
slrnbl9qkv.fqc.nicolas@zen.via.ecp.fr...
> Quelqu'un pourrait-il me donner un exemple de suite de fonctions
> continues convergeant simplement mais non uniformement vers une fonction
> continue, le tout sur un compact (intervalle borne de R^n en fait)?
> Parce que je n'arrive pas a trouver de contre-exemple facilement ni a
> trouver un theoreme reliant les deux types de convergence avec les
> proprietes susdites.
>
> Merci beaucoup.
>
> --
> Genji
> "Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
> Jules Renard
> http://www.via.ecp.fr/~genji

[Anonyme]

"Nicolas Le Roux" a écrit
> Quelqu'un pourrait-il me donner un exemple de suite de fonctions
> continues convergeant simplement mais non uniformement vers une
fonction
> continue, le tout sur un compact (intervalle borne de R^n en fait)?

Soit f_n : [0,1] -> R définie comme suit (j'espère être assez clair !) :

Sur [0, 1/n] le graphe est un chapeau pointu formé du segment reliant
(0,0) à (1/2n, n) et du segment reliant (1/2n, n) à (1/n, 0).
Sur [1/n, 1], f_n(x) = 0

Les fonctions f_n sont continues et convergent simplement mais pas
uniformément vers 0.

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

Le Tue, 2 Sep 2003 23:31:12 +0200,
Stéphane Ménart grava à la saucisse et au marteau:

> Les fonctions f_n sont continues et convergent simplement mais pas
> uniformément vers 0.

Parfait, merci.

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard
http://www.via.ecp.fr/~genji

[Anonyme]

Le Tue, 2 Sep 2003 23:10:14 +0200,
Hervé Chappe grava à la saucisse et au marteau:

> Solution dans "Les contre-exemples en mathématiques", Bertrand Hauchecorne,
> ed. Ellipses page 105, §6.
>
> Le théorème que tu cherches est probablement le théorème de Dini.

OK, ce theoreme me rappelle un theoreme de Spe. Ce sera pas suffisant
mais j'ai vu des applications qui peuvent m'interesser. Merci en tout
cas.

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard
http://www.via.ecp.fr/~genji

[Anonyme]

Nicolas Le Roux wrote:

> Quelqu'un pourrait-il me donner un exemple de suite de fonctions
> continues convergeant simplement mais non uniformement vers une fonction
> continue, le tout sur un compact

Par exemple, sur [0,1], une suite (f_n) de fonctions affines par
morceaux, avec f_n nulle sur [1/n,1], et qui fait un triangle de hauteur
n sur [0,1/n].

> (intervalle borne de R^n en fait)?

Le ^n est en trop, je suppose .

> Parce que je n'arrive pas a trouver de contre-exemple facilement ni a
> trouver un theoreme reliant les deux types de convergence avec les
> proprietes susdites.

Un théorème assez facile de ce point de vue dit que sur un compact, si
la convergence est monotone (i.e. la suite est croissante ou
décroissante) et que la limite est aussi une fonction continue, alors il
y a convergence uniforme (Dini). Il y a d'autres résultats sous des
hypothèses plus faibles (Egorov...), mais qui ne donnent pas la
convergence uniforme « partout », en général.

--
M. Tibouchi
> The ``utility function'' Linux hackers are maximizing is not
> classically economic, but is the intangible of their own ego
> satisfaction and reputation among other hackers. -- ESR.

[Anonyme]

Le Tue, 2 Sep 2003 23:42:28 +0200,
Mehdi Tibouchi grava à la saucisse et au marteau:
[color=green]
> > (intervalle borne de R^n en fait)?
>
> Le ^n est en trop, je suppose .[/color]

Non, c'est le "intervalle" qui va pas en fait

>[color=green]
> > Parce que je n'arrive pas a trouver de contre-exemple facilement ni a
> > trouver un theoreme reliant les deux types de convergence avec les
> > proprietes susdites.
>
> Un théorème assez facile de ce point de vue dit que sur un compact, si
> la convergence est monotone (i.e. la suite est croissante ou
> décroissante) et que la limite est aussi une fonction continue, alors il
> y a convergence uniforme (Dini). Il y a d'autres résultats sous des[/color]

Oui, ca je sais, je l'ai vu en Spe.

> hypothèses plus faibles (Egorov...), mais qui ne donnent pas la
> convergence uniforme « partout », en général.

En fait, j'aimerais savoir si lim f_n(a_n) = lim f(a_n) ou f = lim f_n
sachant que toutes les fonctions sont continues (et qu'on peut les
supposer definies sur un compact de R^n).

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard
http://www.via.ecp.fr/~genji

[Anonyme]

Nicolas Le Roux wrote:

> En fait, j'aimerais savoir si lim f_n(a_n) = lim f(a_n) ou f = lim f_n
> sachant que toutes les fonctions sont continues (et qu'on peut les
> supposer definies sur un compact de R^n).

Ben non. Prendre pour les a_n les abscisses des sommets des triangles
dans l'exemple (f_n) que Stéphane Ménart a donné avant moi. On a
f_n(a_n) = n, et f(a_n) = 0.

--
M. Tibouchi
> Fra. Fairest Cordelia, that art most rich, being poore,
> Most choise, forsaken; and most lou'd, despis'd,
> Thee and thy vertues here I seize vpon. King Lear I, 1.

[Anonyme]

Le Wed, 3 Sep 2003 00:23:11 +0200,
Mehdi Tibouchi grava à la saucisse et au marteau:

> Nicolas Le Roux wrote:
>[color=green]
> > En fait, j'aimerais savoir si lim f_n(a_n) = lim f(a_n) ou f = lim f_n
> > sachant que toutes les fonctions sont continues (et qu'on peut les
> > supposer definies sur un compact de R^n).
>
> Ben non. Prendre pour les a_n les abscisses des sommets des triangles
> dans l'exemple (f_n) que Stéphane Ménart a donné avant moi. On a
> f_n(a_n) = n, et f(a_n) = 0.[/color]

Et quelles conditions seraient necessaires pour fare cela? (en fait, f_n
est une suite d'operateurs et a_n une suite de fonctions)

Si vous aviez un site ou ils parlent de ca, ce serait parfait.

Merci beaucoup.

--
Genji
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http://www.via.ecp.fr/~genji

[Anonyme]

Le Wed, 3 Sep 2003 00:23:11 +0200,
Mehdi Tibouchi grava à la saucisse et au marteau:

> Nicolas Le Roux wrote:
>[color=green]
> > En fait, j'aimerais savoir si lim f_n(a_n) = lim f(a_n) ou f = lim f_n
> > sachant que toutes les fonctions sont continues (et qu'on peut les
> > supposer definies sur un compact de R^n).
>
> Ben non. Prendre pour les a_n les abscisses des sommets des triangles
> dans l'exemple (f_n) que Stéphane Ménart a donné avant moi. On a
> f_n(a_n) = n, et f(a_n) = 0.[/color]

Et quelles conditions seraient necessaires pour faire cela? (en fait, f_n
est une suite d'operateurs lineaires et a_n une suite de fonctions)

Si vous aviez un site ou ils parlent de ca, ce serait parfait.

Merci beaucoup.

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
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[Anonyme]

Le Wed, 3 Sep 2003 17:40:59 +0000 (UTC),
Nicolas Le Roux grava à la saucisse et au marteau:

> Et quelles conditions seraient necessaires pour faire cela? (en fait, f_n
> est une suite d'operateurs lineaires et a_n une suite de fonctions)

J'ai l'impression que si la suite (G_n) converge uniformement vers G sur
un voisinage de f, limite de (f_n), alors G_n(f_n) a la meme limite que
G(f_n). Je me trompe? Et, si non, il y aurait des conditions moins
contraignantes?

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard
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