Continuités

[ExtraFuze]

On se propose de résoudre l'équation et ensuite l'inéquation

A. Équation

Soit
1. Dressez le tableau de variation de à partir du signe de
2. Montrer que dans l'intervalle , l'équation possède une solution unique
3. a) trouvez un nombre a inférieur à tel que
b) montrez que sur l'intervalle , il existe une unique solution
4. Utilisez la méthode précédente pour montrer que sur l'intervalle , il existe une unique solution
5. Donnez un encadrement de longueur pour chacune des solutions . Indiquez le procédé utilisé.

B. Inéquation

En utilisant les variations de , résolvez cette inéquation.


Bonjour,
J'ai réussi, très difficilement la question 1, je bute sur tout le reste. Pourriez vous m'éclaircir ? Merci

Je tiens à préciser que malgré mes efforts je suis très mauvais en maths.

[homeya]

Bonjour,

J'ai mis l’étude de la fonction sur http://dl.free.fr/gW9mMGgL2 afin que nous puissions travailler sur un document commun.
Pour l'intervalle [-1;1] comment est la fonction d’après le tableau de variations ?

Cordialement.

[ExtraFuze]

Pour l'intervalle [-1;1] la fonction est strictement décroissante .

[homeya]

Très bien ! Et comme f est même strictement décroissante de [-1;1] sur [-3;5] et que 0 appartient à [-3;5], combien de solutions l’équation f(x) = 0 admet-elle sur [-1;1 ] (cela se voit aussi sur le graphique) ?

[ExtraFuze]

L'équation f(x) = 0 admet une solution sur [-1;1] :)

[homeya]

Bravo ! Maintenant, pour la question "trouvez un nombre a inférieur à -1 tel que f(a) < 0", comment pourrait-on procéder, toujours en se basant sur les informations du tableau de variations ? On voit déjà par exemple que -1 ne peut convenir puisque f(-1) = 5 > 0 ?

[ExtraFuze]

Hmmm, malgré mes efforts de recherche, j'ai du mal à voir ..

[ExtraFuze]

S'il vous plait, j'ai vraiment besoin d'aide :(

[homeya]

Pour trouver un nombre a inférieur à -1 tel que f(a) < 0, il faut faire des essais. On sait qu'il en existe une infinité puisque le tableau de variations nous affirme que la fonction tend vers - en -:
f(-1) = 5
f(-2) = -3
f(-3) = -35
On peut donc parfaitement choisir a = -2.
Pour la question 3)b), comment peut-on montrer qu'il existe une unique solution (donc f() = 0) sur ]-;-1] ? Astuce: il faut regarder le tableau de variations.

[ExtraFuze]

Pour la 3)b) j'ai dit que f est continue et stricement croissante sur ]- ;-1[ et f(-) < -2 < f(-1)
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe une unique solution sur ]- ;-1[

C'est bon ?

[homeya]

Oui, mais au lieu de dire "f(-) 0.
Comment pourrait-on rédiger la 4) ?

[ExtraFuze]

J'ai réussi à faire la 4.
Par contre je ne comprend pas du tout la 5, nous n'avons pas abordé cela en cours.

[homeya]

Pour la 5), il faut procéder par approximations successives. Par exemple, pour :
f(-1) = 5 > 0
f(-2) = -3 0
f(-1,8) > 0
f(-1,9) 0
f(-1,82) < 0
Donc = -1,8 à près.

[ExtraFuze]

Merci beaucoup, j'ai rendu mon travail hier et je pense avoir réussi, grâce à votre aide :)

[homeya]

On croise les doigts alors ... Bonne continuation.