T.S Continuité

[yahumi]

f continue sur R tel que (qlq soit x dans R) f(x) est différente de x
montrez que fof(x)=x n'admet aucune solution dans R

[ampholyte]

f continue sur R tel que (qlq soit x dans R) f(x) est différente de x
montrez que fof(x)=x n'admet aucune solution dans R

Bonjour,

Quel est ton problème ? :hein:

[Luc]

f continue sur R tel que (qlq soit x dans R) f(x) est différente de x
montrez que fof(x)=x n'admet aucune solution dans R

Salut,

pense au théorème des valeurs intermédiaires.

[Deliantha]

Voici un rappel élégant sur la notion de point fixe d'une fonction à partir de la notion de k-cycle.
Soit une fonction f, on peut appeller k-cycle un ensemble de k points {x_1, ...x_k} tel que
f(x_1)=x_2
f(x_2)=x_3
...
f(x_k)=x_1. Un point fixe est alors un 1-cycle.
Maintenant, en nommant f^(k) la k-composée de f avec-elle même ( ie f^(2)=f o f , f^(3) = f o f o f) on peut s'intéresser aux solutions possibles de l'équation aux points fixes : f^(p) (x) = x.
Alors l'ensemble des points fixes de f^(p) correspond à l'ensemble des d-cycles de f avec d divisant p.

Revenons à notre problème concernant une fonction f et à la fonction g(x) = f o f(x) (sur un cycle).
En trouvant une solution, vérifions qu'elle mène à f=Id en le démontrant par l'absurde (la possibilité).

[chan79]

f continue sur R tel que (qlq soit x dans R) f(x) est différente de x
montrez que fof(x)=x n'admet aucune solution dans R

puisque f est continue, on peut démontrer que f(x)-x est toujours du même signe
supposons que pour tout x, f(x)>x
supposons aussi qu'il existe un x' tel que (fof)(x')=x'
si on pose y'=f(x')
f(y')=x' et on a f(x')>x'
f(y')<f(x')
f(y')<y' contradiction
il ne peut pas exister un tel x'

[Luc]

[quote="chan79"]puisque f est continue, on peut démontrer que f(x)-x est toujours du même signe
supposons que pour tout x, f(x)>x
supposons aussi qu'il existe un x' tel que (fof)(x')=x'
si on pose y'=f(x')
f(y')=x' et on a f(x')>x'
f(y')x
alors pour tout x, f(f(x))>f(x)>x. Fini :lol3: .

[chan79]

ou plus simplement,
supposons que pour tout x, f(x)>x
alors pour tout x, f(f(x))>f(x)>x. Fini.

ah oui, encore plus rapide !