Continuité

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Lacouille
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Continuité

par Lacouille » 11 Nov 2010, 15:50

Bonjour pouvez vous tentez de m'expliquer ce que c'est que le prolongement par continuité en maths.
Voilà la question de mon exo:
Proposez un prolongement par continuité de la fonction f en 0

Merci



Nightmare
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par Nightmare » 11 Nov 2010, 15:52

Salut,

et tu ne penses pas que la donnée de "f" est importante pour pouvoir t'aider?

Lacouille
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par Lacouille » 11 Nov 2010, 15:56

Nightmare a écrit:Salut,

et tu ne penses pas que la donnée de "f" est importante pour pouvoir t'aider?


..... --'Si forcément mais je ne comprend pas déjà le principe de la continuité en fait.

f(x) = et lim de f(x) = 0

Nightmare
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par Nightmare » 11 Nov 2010, 15:58

Lacouille a écrit:..... --'Si forcément mais je ne comprend pas déjà le principe de la continuité en fait.

f(x) = et lim de f(x) = 0


Tu vois qu'il y a un problème en 0, la fonction n'y est pas définie. Cependant, on a prouvé que quand on se rapprochait de 0, la fonction avait un comportement assez régulier et se rapprochait elle même de 0. Du coup, on peut "prolonger" la fonction en 0, en posant f(0)=0, cela permet de compléter la fonction là où elle n'est pas définie, et en plus, cela permet de la rendre continue en ce point, d'où le fait qu'on parle de prolongement par continuité.

Lacouille
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par Lacouille » 11 Nov 2010, 16:00

A d'accord merci beaucoup pour cette réponse clair et précise :lol3: Bonne continuation

Sylviel
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par Sylviel » 11 Nov 2010, 16:03

Le principe de continuité, de manière très grossières c'est que tu peux "tracer la courbe sans lever le crayon". Ou encore que la courbe ne "saute pas". Donc le prolongement par continuité en un point a c'est donner à la fonction la valeur en a lim f(x) quand x tend vers a. Autrement dis quand tu t'approches de a si ta fonction s'approche d'une valeur, alors il est naturel de lui donner cette valeur en a. Comme cela ta nouvelle fonction est continue (elle ne saute pas :-)

Un exemple, accroche la ceinture pour bien suivre toutes les étapes ^^
- soit f:x->1/x (fonction non définie en 0 !)
- soit g:x->x² (fonction définie partout)
- soit h : x-> f(x)*g(x) =x si x est différent de 0 (et oui ! n'étant pas définie en 0 son produit ne l'est pas non plus :triste: )

en revanche la valeur naturelle de h(0) ce serait 0, non ? en effet c'est la valeur qui rend continue la fonction h en 0, ie lim h(x) = 0 (en 0).

donc le prolongement par continuité de h est la fonction identité x->x :we:

A toi de faire de même avec ta fonction.
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

Lacouille
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par Lacouille » 11 Nov 2010, 16:12

- soit h:x->2+sin1/x
- soit g:x-> x
- soit f: x-> g(x)/h(x) = ?

A partir de là je suis largué car je comprend pas la notion de valeur naturelle dans ton exemple

Lacouille
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par Lacouille » 11 Nov 2010, 16:32

- soit h:x->2+sin1/x
- soit g:x-> x
- soit f: x-> g(x)/h(x) = Je retombe sur ma fonction f et je suis pas plus avancé... Qu'est ce que j'ai loupé stp?

Sylviel
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par Sylviel » 11 Nov 2010, 16:43

Pourtant je te l'ai expliqué en long, et en large. Pour la fonction x->x la valeur "naturelle" c'est bien 0 (si tu mettais 0 à la place de x...). Plus généralement la valeur du prolongement continu c'est celle de la limite : comme ca , donc la fonction est continue en 0...

Ce que je t'ai expliqué était juste pour te faire comprendre la notion de prolongement continu, pas une méthode pour ton exercice... Tu as déjà tous les éléments. Et Nightmare t'as aussi fournit une explication.
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

Lacouille
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par Lacouille » 11 Nov 2010, 16:48

Donc j'ai juste à dire que f(0)=0 (Cela donne un fraction de la forme 0/ ... ) Donc lim f(x) = f(0) donc la fonction est continue en 0

C'est bon?

Finrod
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par Finrod » 11 Nov 2010, 16:55

D'un point de vue logique, c'est mieux Mais c'est le formalisme qui est lourd sur cette question.

On ne peut pas dire f(0)=0, car la fonction 1/x n'est pas définie en zéro.

On peut par contre remarquer que quand on met x=0, ça va quand même faire 0. La petit nuance, c'est que c'est cela que l'on appelle un calcul de limite.

Donc on a juste à dire lim f(x) = 0 en 0.

Puis après, on impose f(0)=0 et on regarde ce qui se passe. On fait donc un prolongement.

Et oh ! super ! La limite est pareille que la valeur choisie donc c'est continu. Donc le prolongement que l'on a fait est continu.

Nightmare
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par Nightmare » 11 Nov 2010, 16:58

Tiens pour revenir à ce qu'a dit Sylviel "une fonction continue est une fonction qu'on peut tracer sans lever le crayon".

J'ai toujours cru et dit ça aussi, mais après un peu de réflexion, je me demande si la propriété de "pouvoir tracer sans lever le crayon" ne traduit pas plutôt la propriété des valeurs intermédiaires plutôt que la continuité (et on sait qu'on a des fonctions qui vérifient la propriété des valeurs intermédiaires sans être continues).

Lacouille
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par Lacouille » 11 Nov 2010, 17:04

D'accord merci. Il y a un autre morceau de l'exo que je n'arrive pas à faire.

On me demande de démontrer que les points d'intersection de C (c est la courbe représentative de f dans un repère) et D3: y = x/2 ont tous une abscisse comprise entre 0 et 0.35.

Je pense qu'il faut utiliser le TVI mais je vois pas comment en fait !!!! Je n'ai jamais eu ce type de questions auparavant et cela me bloque!

Merci

Finrod
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par Finrod » 11 Nov 2010, 17:06

Tu aurais un exemple ?

Lacouille
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par Lacouille » 11 Nov 2010, 17:12

Exemple:
f(x) = x^3+x-1
on veut prouver l'existence de solutions à l'équation f(x) = 0 et en donner des encadrements
f(o) = -1 f(1) = 1

f est continue sur [O,1] car polynomiale

Comme 0 appartient à [f(0),f(1)], le TVI prouve l' existence d'au moins une solution pour f(x)=0 sur [0,1]


Or dans mon exo, on parle de pts d' intersection de deux droites

Lacouille
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par Lacouille » 11 Nov 2010, 17:37

f(0)= 0 et
f(1) est environ = à 0.35
mais après, comment je démontre que que les points d'intersection de C (c est la courbe représentative de f dans un repère) et D3: y = x/2 ont tous une abscisse comprise entre 0 et 0.35. ???

 

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