Continuité en un point : notation d'une formule

[Tnak10]

Bonjour tout le monde,

Je requiers votre aide car je ne comprends pas la formule de début de chapitre qui définit la convergence d'une suite ( Xn ; n ∈ ℕ ) vers l (sa limite) tel que :
Pour tout ∀ε > 0, ∃N = N(ε) ∈ ℕ tel que ∀n ∈ ℕ, n > N -> | Xn - l | < ε

Je ne comprends pas très bien à quoi correspondent ε et N.

Merci de votre aide

[samoufar]

Bonsoir,

Concrètement, la formule te dit que si tu te places sur un intervalle autour de ta limite, de taille 2ε aussi petite que tu veux, tous les termes de la suite à partir d'un certain rang N (qui dépend de ε) sont dans cet intervalle.

NB : Le 2 devant 2ε est là juste parce que tu considères un intervalle [l-ε,l+ε] centré sur la limite l.

[capitaine nuggets]

Salut !

Quel que soit l'écart que tu prends, tu peut trouver un rang à partir duquel, quel que soit , la distance entre et la limite est inférieur (ou égal) à l'écart .

Autrement dit, si tu fait une représentation graphique en traçant les points (comme pour les fonctions), cela te dit que dès que tu te donnes un écart , tu peut trouver un entier tel que est dans la zone définie par le produit cartésien .

Donc converge vers si tu as cela pour tout , cela vient du fait que .

[Tnak10]

Merci pour ta réponse.
Je comprends ce que tu dis, mais je ne fais pas totalement le lien avec la formule. Pourrais-tu m'expliquer ce que signifie N(ε) ?
Cela m'aiderait encore plus de comprendre directement les notations, pour bloquer moins longtemps sur les notations.

[samoufar]

Ça signifie que N dépend de ε (donc varie d'un ε à un autre).