Bonjour,
J'essaie de faire "à la main" la démonstration de la continuité sur R des fonctions polynomiales. Le raisonnement est-il correct?
Preuve:
Soit considérée la fonction . Par définition:
Or
(*) Si , alors, de facto, et on a trivialement , et ce pour tout et tout strictement positifs.
(**) Si
Alors on pose et on a bien et .
(***) Si
Alors on pose et on a bien et .
Dans les trois cas, f est bien continue en a. Ceci étant vrai pour tout réel a, alors toute fonction de type est continue sur R, et par théorème sur les sommes et produits de fonctions continues, les fonctions polynomiales sont continues sur R.