Continuité des fonctions polynômes

[alexis6]

Bonjour,

J'essaie de faire "à la main" la démonstration de la continuité sur R des fonctions polynomiales. Le raisonnement est-il correct?

Preuve:

Soit considérée la fonction . Par définition:


Or




(*) Si , alors, de facto, et on a trivialement , et ce pour tout et tout strictement positifs.

(**) Si
Alors on pose et on a bien et .

(***) Si
Alors on pose et on a bien et .

Dans les trois cas, f est bien continue en a. Ceci étant vrai pour tout réel a, alors toute fonction de type est continue sur R, et par théorème sur les sommes et produits de fonctions continues, les fonctions polynomiales sont continues sur R.

[Ben314]

Salut,
Non, ça ne marche pas du tout : les deux alphas que tu obtient dépendent de x alors qu'évidement, ça ne doit pas être les cas.
Le alpha de la formule ne doit dépendre que de epsilon (et bien sûr du a où on cherche à montrer que f est continue).
Si tu veut procéder de la sorte, il faut obligatoirement majorer/minorer (à toi de voir) la somme des par un truc indépendant de x.

[alexis6]

D'accord, je vais rectifier le tir.

EDIT: Bon je n'y arrive pas.
EDIT2: en fait j'ai une idée..

Si a positif

Si x>0

Alors la somme des est minorée par 0, puisque c'est une somme de termes positifs.
Pour majorer la somme, on distingue le cas x<a de x>a. Dans le premier cas on majore la somme par . Dans le second cas, on sait que , on majore alors la somme par .

On pose ensuite

Si x<0


Pour minorer cette somme, on separe les termes d'indice pair de ceux d'indice impair.
On a ainsi:


Or
Et

D'où

Donc pour tout réel x, on peut poser et on aura l'inégalité recherchée.

Pour a<0 c'est symétrique.

[Ben314]

Arrivé là (voire avant) :

Tu as plutôt intérêt à écrire (pour avoir un seul symbole < et pour que ça colle mieux avec ce qu'il faut trouver)
soit encore .
Or, si on suppose que ( est indépendant de mais dépend de )
Donc (toujours en supposant ) ce qui signifie que, pour que , il suffit que , c'est à dire que .
(attention, ce n'est pas une condition nécessaire et suffisante, mais uniquement une condition suffisante)
On a donc pour le moment l'implication suivante :

Et on termine en disant qu'en prenant par exemple puis on a .
Ce qui permet de conclure.

Mais bon, ça serait plutôt plus court (et plus pertinent) de montrer que le produit de deux fonctions continues est continue pour en déduire ensuite que est continue comme produit de fonction continue (la fonction étant continue et c'est évident à démontrer).
Ce qui bien sûr n'empêche absolument pas d'essayer de le faire "à la main", ne serait ce que pour voir si on y arrive et aussi pour bien voir que c'est nettement plus simple en considérant le cas général plutôt qu'un cas particulier (i.e. en démontrant le cas général du produit de deux fonction continues plutôt que le cas particulier de la fonction )

[alexis6]

Merci, jamais je n'aurais réussi à trouver tout seul. Je ne sais pas comment tu as fait pour trouver le alpha à la fin, c'est très bien vu... Sinon ce que j'ai écrit dans mon deuxieme message reste bon non? ( j'ai rédigé avant de rgarder ta reponse )

[Ben314]

Sinon ce que j'ai écrit dans mon deuxieme message reste bon non? ( j'ai rédigé avant de rgarder ta reponse )

J'ai pas regardé dans les détails les calculs (surtout dans le cas de la minoration), mais le majorant me semble bon et surtout, sur le principe, c'est correct vu que tu majore/minore bien par des trucs indépendant de x.

Après, c'est quand même bien plus simple de ne gérer qu'une seule inégalité (en valeur absolue) plutôt que de se faire c... à regarder les deux inégalités du ???<x-a<????.

[alexis6]

Oui c'est sûr c'est mieux une unique inégalité. Encore faut-il avoir l'habitude de manier des valeurs absolues ( dans mon cas, une habitude perdue, ce n'est plus un réflexe ), et je le redis, jamais je n'aurais trouvé l'astuce de poser . D'autres difficultés aussi, j'ai du mal à utiliser le "il suffit que" de façon naturelle et à me débrouiller pour que ça ait un sens... Je pense que cet exercice ne pourrait pas être posé au bac tel quel: "démontrer, en utilisant seulement la définition de la continuité d'une fonction R --> R, que les fonctions polynomiales snt continues sur R ".

Sinon Ben aurais-tu des suggestions de fonctions usuelles dont la continuité est prouvable "à la main"? Fonction rationnelle, ça doit être dur non?

[zygomatique]

salut



1/ f est paire/impaire suivant la parité de n donc j'étudie la continuité sur R+

2/ a = 0 alors lorsque |x| < 1 ce qui règle le cas a = 0

3/ pour tout a > 0

il y a une erreur sur la factorisation de x^n - a^n




(*) alors si |x - a| < 1 on a

il suffit alors de choisir pour que


bon maintenant c'est à regarder dans les détails plus précisément (en particulier la ligne (*)

à noter qu'on est pas loin de puisqu'on reconnait

[alexis6]

1/ f est paire/impaire suivant la parité de n donc j'étudie la continuité sur R+

C'est un peu de la triche . Sinon autant dire que l'on sait que le produit de fontions continues sur I est continu sur I, et puis ensuite on étudie la continuité de x. A la main = seulement avec la définition.

Merci d'avoir signalé mon erreur sur la factorisation, qui est due simplement au fait que j'ai trouvé ce résultat sur un forum avec plein de fautes. Je vais le corriger.

[Ben314]

Il y a plusieurs erreurs dans ta preuve zigo.

Là :

il faut supposer que x>0 pour que la dernière inégalitée soit valable.
On a le droit de le faire en précisant que, vu que a>0, on peut supposer que |x-a|<a (ce qui implique bien que x>0).
Mais évidement, il faudra tenir compte de cette première condition dans l'évaluation finale du M "qui va bien".

(*) alors si |x - a| < 1 on a

Là, c'est bon, : tu as bien écrit qu'il te fallait une deuxième hypothèse de la forme |x-a|<? pour continuer le calcul.

il suffit alors de choisir pour que

Par contre, la conclusion est erronée : tu as trois condition que doit remplir |x-a| pour que l'ensemble de ce que tu as écrit soit valable et donc tu doit donc prendre pour que tout ce que tu as écrit soit vrai lorsque |x-a|<M.

[alexis6]

Il y a plusieurs erreurs dans ta preuve zigo.

Là :

il faut supposer que x>0 pour que la dernière inégalitée soit valable.
On a le droit de le faire en précisant que, vu que a>0, on peut supposer que |x-a|<a (ce qui implique bien que x>0).
Mais évidement, il faudra tenir compte de cette première condition dans l'évaluation finale du M "qui va bien".

Mais il suppose x>0 (c'est justement ce que je lui reprochais)

Edit: ah non en fait il suppose , et donc c'est faux, car pour x=0 l'inégalité ne marche pas.

[zygomatique]

évoquer la parité de f pour ne travailler que sur "une moitié des réels" n'est pas de la triche ... on pourrait évidemment adapter le raisonnement si a < 0


première erreur : oui c'est un oubli "évident" ... et ta condition |x - a| < a est effectivement très efficace


dernière erreur : oui là je pensais qu'il fallait faire un truc comme précédemment : considérer l'intersection de voisinages convenables autour de a ... pour choisir le M minimum convenable

mais c'est pour cela que j'avais écrit "à prendre avec des pincettes"
il y avait l'idée générale et je savais que là j'allais un peu vite dans le choix de mon M : le 1 de |x - a| < 1 me titillais et bêtement je n'ai pas su l'intégrer correctement ...
mais j'avoue que j'aurais oublié certainement la première condition

merci pour ces corrections (je savais que tu interviendrais efficacement ... comme à ton habitude !!