Continuité démo

[kazeriahm]

C'est avec ces exos qu'on voit la puissance de la définition formelle de la continuité.

oui et toutes les histoires de densité justement... les relations entre Q, R et R\Q

[lapras]

mais alors ton exercice est carrément identique à celui de J-R, à ceci pres que f(x0) = 1/q au lieu de f(x0) = x0 si x0 est rationnel

[Flodelarab]

hum :hum:
Oserais je mon grain de sel ?

E est la fonction partie entière. E(x) est l'unique entier tel que

Ça c faux
si x=3,02 alors E(x)=3 et x=3,02 et x+1=4,02

x<E(x)\le x-1

c faux

x-1<=E(x)<x

c faux
si x=-2,03 alors E(x) = -2 et x-1=-3,03 et x=-2,03

regarde bien c'est E(x)<=x<E(x)+1

c faux
si x= -7,36 alors E(x)=-7 et E(x)+1=-6


Personne ne peut en douter avec des exemples.

[kazeriahm]

certes. Que proposes tu comme définition ?

oui lapras l'exo est presque le meme, mais ce n'est pas le meme (en fait il est plus dur)

[lapras]

kazeriahm
Ta fonction est discontinue sur IR, non ?

[Nightmare]

Non, elle est continue sur R-Q

[lapras]

R-Q = R privé de Q ??
je n'ai pas l'habitude de manier ces ensembles comme ca

[Nightmare]

C'est l'ensemble des irrationnels.

[lapras]

ui effectivement c'est bien l'ensemble des irrationnels et f est continue sur cet ensemble , elle vaut toujours 0

Il me faut beaucoup d'entrainement

[Nightmare]

Ce n'est pas parce qu'elle vaut toujours 0 qu'elle est continue sur cet ensemble :lol3:

[lapras]

Non, mais c'est parce qe quand x tend vers un irrationnel a alors f(x) tend vers f(a)

[kazeriahm]

et oui mais pourquoi ?

il est facile de montrer qu'elle est discontinue sur Q.

Plus dur de montrer qu'elle est continue sur R\Q.

[lapras]

Soit E l'ensemble des irrationnels (pour etre plus rapide lol)

Alors si a appartient à E, et que x appartenant à E tend vers a, alors f(x) tend vers 0 donc tend vers f(a) donc f est continue sur R-Q = E, non ?

[kazeriahm]

non non ca ne marche pas, reviens à la définition de la continuité pour ten convaincre

[kazeriahm]

oui donc poru expliquer un peu

si a € E, x tend vers a signifie que x s'approche de a infiniment près (bon on se comprend), en passant par des valeurs rationelles et irrationelles (car Q et R\Q sont denses dans R), donc ton raisonnement (qui en fait n'en est pas un :id: ) ne marche pas

[lapras]

Oui ca je le comprend bien, mais dans mon "raisonnement", l'ensemble est irrationnel, donc quand x->a appartenant à E, x tend vers a en passant uniquement par des valeurs irrationnelles, dans E, c'est comme ca que je voyais la chose

[kazeriahm]

bah oui mais ca ne suffit pas pour montrer la continuité

par exemple :

si f est définie par f(x)=1 si x est entier, 0 sinon, alors d'après ton raisonnement on aurait f continue... ce qui n'est clairement pas le cas

[kazeriahm]

essaye de montrer qu'elle est discontinue sur Q pour commencer

[lapras]

on définit f sur [0,1] par
f(x)=0 si x est irrationnel
f(x)=1/q si x=P/q est rationnel avec p premier avec q.

f est-elle continue en certains points ? lesquels ?

Pour la discontinuité sur Q :
Comme Q est dense sur IR-Q , alors quelque soit le réel n :
il existe un réel a appartenant à [1/q-n ; 1/q+n]
Soit b un rationnel :
|f(b)| = |f(b) - 0| = |f(b) - f(a)|
Soit e = |1/(2q)|
donc
e < |f(b) - f(a)|

Donc f(x) n'est pas continue

[kazeriahm]

euh j'ai pas tout saisi, on s'y perd un peu dans tes notations (visiblement a est en fait irrationnel, et b il est quelconque ?!)

prends une suite d'irrationels (x_n) convergeant vers le rationnel x.