Continuité et convexité

[Mr.Thales]

Bonjour à tous,

Je suis bloqué depuis cette aprèm sur un exercice intéressant mais très casse tête :

la tableau suivant donne les 5 premières tranches du barème de l'impôt sur les grandes fortunes (ISF) pour l'année 2011, en fonction du montant du patrimoine taxable de 2010

x = montant du patrimoine taxable en millier d'euros

Tranche 1 x ;) 800 0%
Tranche 2 800 ;) x ;) 1310 0,55%
Tranche 3 1310 ;) x ;) 2570 0,75%
Tranche 4 2570 ;) x ;) 4040 1%
Tranche 5 4040 ;) x ;) 7710 1,3 %

je semble avoir compris le système d'imposition par exemple si j'ai x = 1500 : 0,0055x(1310-800) + 0,0075x(1500-1310) = 4,23 soit 4230 euro à payer.

mais voici la première question : Soit x le montant du patrimoine en millier d'euros, exprimer pour chaque tranche d'imposition le montant f(x), en milliers d'euros, de l'impot à payer en 2011

Je n'arrive pas à élaborer une fonction qui colle avec mon exemple :mur:

Si vous pouviez m'aider, merci d'avance.

[Mr.Thales]

Pas d'idée ? :help:

[Luc]

Pas d'idée ? :help:

Bonjour,

il faut, comme l'indique l'énoncé, distinguer les différentes tranches.

Que vaut f(x) si x est dans la tranche 1? x dans la tranche 2? etc.
L'exemple que tu as donné est exactement le raisonnement qu'il faut faire pour la tranche 3, en remplaçant 1500 par x.

[Mr.Thales]

Merci de ta réponse, mais mon prof m'a dit qu'il ne fallait pas faire un fonction par tranche (ce que je comptais faire) mais une seule fonction permettant de calculer le montant de l'impôt et là je bloque totalement...

[Luc]

Merci de ta réponse, mais mon prof m'a dit qu'il ne fallait pas faire un fonction par tranche (ce que je comptais faire) mais une seule fonction permettant de calculer le montant de l'impôt et là je bloque totalement...

Va au bout de tes intentions, ie calcule une fonction par tranche, et ensuite tu verras si tu peux accorder tes résultats trouvés en une seule formule. Tu verras que c'est en fait possible (avec un peu d'astuce d'écriture). Le plus important à mon avis est que tu dessines le graphe de cette fonction, qui je crois est affine par morceaux.

[Mr.Thales]

Va au bout de tes intentions, ie calcule une fonction par tranche, et ensuite tu verras si tu peux accorder tes résultats trouvés en une seule formule. Tu verras que c'est en fait possible (avec un peu d'astuce d'écriture). Le plus important à mon avis est que tu dessines le graphe de cette fonction, qui je crois est affine par morceaux.

Si j'examine par tranche j'obtiens :

Tranche 1 : f(x) = x
Tranche 2 : f(x) = 0,0055x
Tranche 3 : f(x) = 0,0075x
Tranche 4 : f(x) = 0,01x
Tranche 5 : f(x) = 0,013x

le truc c'est que je ne sais pas comment reproduire mon exemple sous forme de fonction car le calcul change selon x

[Luc]

Si j'examine par tranche j'obtiens :

Tranche 1 : f(x) = x
Tranche 2 : f(x) = 0,0055x
Tranche 3 : f(x) = 0,0075x
Tranche 4 : f(x) = 0,01x
Tranche 5 : f(x) = 0,013x

le truc c'est que je ne sais pas comment reproduire mon exemple sous forme de fonction car le calcul change selon x

Tes formules sont incomplètes : tu as pourtant bien compris sur ton exemple que les taux d'imposition ne sont pas appliqués à x tout entier mais seulement à la fraction de x qui tombe dans la tranche en question.
Et je doute que l'impôt soit x tout entier dans la tranche 1...
De plus, la fonction f doit être continue entre chaque tranche.

[Mr.Thales]

Tes formules sont incomplètes : tu as pourtant bien compris sur ton exemple que les taux d'imposition ne sont pas appliqués à x tout entier mais seulement à la fraction de x qui tombe dans la tranche en question.
Et je doute que l'impôt soit x tout entier dans la tranche 1...
De plus, la fonction f doit être continue entre chaque tranche.

Je comprend ce que vous voulez me dire mais c'est justement la fonction qui permet de calculer x selon les tranches que je n'arrive pas à déterminer.

Peut être qu'il faudrait en premier soustraire 800 à x puisque la tranche 1 n'est pas imposable :
donc sur mon exemple : 1500-800 = 700, sur ces 700, 510 sont imposés dans la tranche 2 et le reste dans la tranche 3.

[Luc]

Je comprend ce que vous voulez me dire mais c'est justement la fonction qui permet de calculer x selon les tranches que je n'arrive pas à déterminer.

Peut être qu'il faudrait en premier soustraire 800 à x puisque la tranche 1 n'est pas imposable :
donc sur mon exemple : 1500-800 = 700, sur ces 700, 510 sont imposés dans la tranche 2 et le reste dans la tranche 3.

Oui c'est l'idée.
Ce n'est pas x qu'il faut calculer, mais f(x). Il suffit de faire exactement la même chose que dans l'exemple, et de remplacer 1500 par x.

Je fais le cas où x est dans la troisième tranche. Que vaut f(x)?
f(x)=0,0055*(1310-800) + 0,0075*(x-1310) puisque x est dans la troisième tranche.

Il suffit de faire la même chose pour toutes les tranches.

[Mr.Thales]

Oui c'est l'idée.
Ce n'est pas x qu'il faut calculer, mais f(x). Il suffit de faire exactement la même chose que dans l'exemple, et de remplacer 1500 par x.

Je fais le cas où x est dans la troisième tranche. Que vaut f(x)?
f(x)=0,0055*(1310-800) + 0,0075*(x-1310) puisque x est dans la troisième tranche.

Il suffit de faire la même chose pour toutes les tranches.

Si je comprend bien, pour la quatrième tranche :

f(x) = 0,0055*(1310-800)+0,0075*(2570-1310)+0,01*(x-2570)

pour la cinquième :

f(x) = 0,0055*(1310-800)+0,0075*(2570-1310)+0,01*(4040-2570)+0,013*(x-4040)

[Luc]

Si je comprend bien, pour la quatrième tranche :

f(x) = 0,0055*(1310-800)+0,0075*(2570-1310)+0,01*(x-2570)

pour la cinquième :

f(x) = 0,0055*(1310-800)+0,0075*(2570-1310)+0,01*(4040-2570)+0,013*(x-4040)

Voilà. Et n'oublie pas la première et la deuxième tranche.
D'ailleurs, il n'y a pas de tranche 6? Bizarre que l'on ne puisse pas avoir x aussi grand que l'on veut.

[Mr.Thales]

Voilà. Et n'oublie pas la première et la deuxième tranche.
D'ailleurs, il n'y a pas de tranche 6? Bizarre que l'on ne puisse pas avoir x aussi grand que l'on veut.

Très grand merci ! l'exercice donne seulement les 5 premières tranches et je vais pas m'en plaindre.