[Arithmétique] Construire une démonstration (II)

[Boss_maths]

Bonjour,

Je sollicite encore votre aide sur cet exercice d'arithmétique.

Soit , deux entiers naturels quelconques, on considère les nombres :

et

1°) Démontrer l'équivalence :


2°) On suppose , montrer que et
ne peuvent avoir d'autre diviseur commun que 19 et 1.
_______________________________________________

1°)
Le déterminant de ce système est : :happy3:
J'en déduis que :


Alors CQFD ?

2°)
J'ai trouvé cette propriété :
J'en déduis que : , puis la 2ème fois :
Et après... ?

Merci pour vos réponses,
@+

[capitaine nuggets]

Bonjour,

Je sollicite encore votre aide sur cet exercice d'arithmétique.

Soit , deux entiers naturels quelconques, on considère les nombres :

et

1°) Démontrer l'équivalence :


2°) On suppose , montrer que et
ne peuvent avoir d'autre diviseur commun que 19 et 1.
_______________________________________________

1°)
Le déterminant de ce système est : :happy3:
J'en déduis que :


Alors CQFD ?

2°)
J'ai trouvé cette propriété :
J'en déduis que : , puis la 2ème fois :
Et après... ?

Merci pour vos réponses,
@+

Moi j'aurai plutôt montré comme ça :

1°) Supposons que 19 divise A.
19 divise 11m+2n donc 19 divise 11m et 2n et par conséquent, 19 divise m et n.
Or si 19 divise m et n alors 19 divise 18m et 5n donc 19 divise 18m+5n, c'est-à-dire B.

Même raisonnement pour la réciproque :
Supposons que 19 divise B.
...

2°) Ici, à vue de nez, je raisonnerais par l'absurde :
On suppose qu'il existe un entier naturel non nul tel que divise .

@+

[Boss_maths]

2°) Ici, à vue de nez, je raisonnerais par l'absurde :
On suppose qu'il existe un entier naturel non nul tel que divise .

Je bloque complètement pour démontrer la contradiction, ou pour toute autre méthode...

@+ :help:

[Mortelune]

capitaine nuggets, il ne faut pas confondre le sens de l'implication dans les propriétés, autant sur l'idée tu as raison pour les questions mais 11*1+2*4=19, et 19 ne divise ni 1 ni 4 :
Si 19|P et 19|Q alors 19|aP+bQ, mais dans l'autre sens ce n'est pas vrai (comme je viens de le montrer).

Sinon effectivement, Boss_maths ne répond pas aux questions qu'il se pose. Dans la première question parce que tu ajoutes l'hypothèse "19|n et 19|m", du coup il n'y a plus de question comme tu l'as bien montré. Et pour la seconde tu gardes l'hypothèse que tu as ajouté et qui là te gêne encore plus puisque c'est en contradiction avec m et n premier entre eux comme tu dis qu'ils ont un diviseur commun : 19.

[Boss_maths]

capitaine nuggets, il ne faut pas confondre le sens de l'implication dans les propriétés, autant sur l'idée tu as raison pour les questions mais 11*1+2*4=19, et 19 ne divise ni 1 ni 4 :
Si 19|P et 19|Q alors 19|aP+bQ, mais dans l'autre sens ce n'est pas vrai (comme je viens de le montrer).

J'en déduis que sa démonstration n'est pas complète ?

Sinon effectivement, Boss_maths ne répond pas aux questions qu'il se pose. Dans la première question parce que tu ajoutes l'hypothèse "19|n et 19|m", du coup il n'y a plus de question comme tu l'as bien montré. Et pour la seconde tu gardes l'hypothèse que tu as ajouté et qui là te gêne encore plus puisque c'est en contradiction avec m et n premier entre eux comme tu dis qu'ils ont un diviseur commun : 19.

Cf 1°) si 19|n et 19|m se déduit des solutions du système pour m et n, peut-on utiliser la piste du déterminant pour conclure ?
Mais, surtout, quid de la 2ème question ?

Merci et @+

[Boss_maths]

Aucune proposition de démonstration ?

Merci et @+