[Arithmétique] Construire une démonstration

[Boss_maths]

Bonjour/soir,

Je sollicite votre aide pour cet exercice d'arithmétique.

Soit , un entier naturel quelconque, on considère les nombres :

et

Démontrer que ou
_____________________________________

Si j'ai remarqué que : et ,
je ne sais pas comment, à l'aide des propriétés de la divisibilité, poursuivre la démonstration :wrong:

Merci par avance,
@+

[Skullkid]

Bonjour, si je te demandais de me calculer le pgcd de 527 et 804, tu ferais comment ?

[chan79]

Bonjour/soir,

Je sollicite votre aide pour cet exercice d'arithmétique.

Soit , un entier naturel quelconque, on considère les nombres :

et

Démontrer que ou
_____________________________________

Si j'ai remarqué que : et ,
je ne sais pas comment, à l'aide des propriétés de la divisibilité, poursuivre la démonstration :wrong:

Merci par avance,
@+

Salut
Soit un entier p qui divise A et B.
Compte tenu de ce que tu as remarqué, tu peux écrire que p divise 9A et 7B

[Boss_maths]

Bonjour, si je te demandais de me calculer le pgcd de 527 et 804, tu ferais comment ?

Merci pour ta réponse.
Aucun diviseur commun entre 804 et 517, donc pgcd=1 ?

@+

[Skullkid]

Merci pour ta réponse.
Aucun diviseur commun entre 804 et 517, donc pgcd=1 ?

@+

J'en sais rien, j'ai pris les nombres au hasard, le but du jeu était de les prendre suffisamment grands pour te décourager d'essayer de lister les diviseurs, mais ça n'a pas marché (sinon, il y a toujours au moins un diviseur commun à deux entiers : 1). Quand on te demande de calculer le pgcd de deux nombres, tu dois penser à l'algorithme d'Euclide. Essaye donc cet algorithme sur A et B (ou suis la piste, plus astucieuse, de chan79).

[Boss_maths]

Salut
Soit un entier p qui divise A et B.
Compte tenu de ce que tu as remarqué, tu peux écrire que p divise 9A et 7B

Merci pour ta réponse.


Je remarque que 9A<7B et comme :
un nombre premier.
Je remarque des choses, mais ce n'est pas la démonstration :doute2:

@+

[chan79]

Merci pour ta réponse.


Je remarque que 9A<7B et comme :
un nombre premier.
Je remarque des choses, mais ce n'est pas la démonstration :doute2:

@+

le pgcd de A et B divise 19 donc ...

[Boss_maths]

le pgcd de A et B divise 19 donc ...

Ben, ce qui me gêne c'est que p est un diviseur de 19, mais pourquoi p serait le pgcd de 9A et 7B et de la différence et... ?

Merci et @+

[chan79]

Ben, ce qui me gêne c'est que p est un diviseur de 19, mais pourquoi p serait le pgcd de 9A et 7B et de la différence et... ?

Merci et @+

le pgcd de A et B divise aussi les nombres suivants: 9A, 7B, 9A-7B
si un nombre en divise deux autres, il divise aussi leur différence

[Boss_maths]

le pgcd de A et B divise aussi les nombres suivants: 9A, 7B, 9A-7B
si un nombre en divise deux autres, il divise aussi leur différence

Ok, je crois avoir saisi ce qui me manquait pour... comprendre ?
Au départ, en hypothèse, on se dit que p est un diviseur, mais pas n'importe lequel c'est le pgcd !
Après, le raisonnement sur la divisibilité je connaissais :

Mais comme 19 est premier, alors : ou , CQFD !?

@+

[chan79]

Ok, je crois avoir saisi ce qui me manquait pour... comprendre ?
Au départ, en hypothèse, on se dit que p est un diviseur, mais pas n'importe lequel c'est le pgcd !
Après, le raisonnement sur la divisibilité je connaissais :

Mais comme 19 est premier, alors : ou , CQFD !?

@+

oui, c'est ça
on remarque que le pgcd de A et B est 19 si n est un multiple de 19 et sinon, c'est 1

[egan]

Ya une méthode un peu moins fatiguante pour le cerveau pour faire ce genre de trucs.
Tu peux même améliorer un peu le résultat que tu proposes de démontrer.
On définit la fonction sur ou .
Alors on a:










Et voilà, tu sais donc que ne peut prendre que les valeurs 1 et 19.
Et là où tu améliores ton résultat, c'est que tu as aussi montré par la même occasion que est 19-périodique !!