Construction d'un triangle à partir de son cercle inscrit

[oumanipapa1964]

Bonjour,
J'ai là un exercice qui m'a un peu chamboulé la cervelle
Soit ABC un triangle de surface 15cm² de périmètre 11cm et son cercle inscrit (C) de rayon r et de centre O
1) Calculer le rayon r.
2) Construire le triangle ABC en justifiant votre réponse.
3) Déduire la surface de chacun des triangle OAB; OAC; et OBC.

Mes réponses sont les suivantes :
1) On sait que S=r*P*1/2
Donc r=2S/P=30/11cm
2) J'ai proposé qu'on commence par tracer un cercle de rayon 30/11cm (futur cercle inscrit au triangle) et d'ensuite tracer trois droite distinctes qui lui sont tangentes. Les intersections de ces droites sont les sommets A, B et C du triangle. Or quand j'ai commencé la construction, j'ai obtenu un triangle de périmètre dépassant de loin les 11cm de l'énoncé . Qu'est ce qui ne va pas??
3) En ce qui concerne cette réponse, je suppose que chacun des surfaces demandées requiert des mesures que l'on prendra directement sur la figure, chose que je n'ai pas encore achevée.
Merci d'avance.

[pascal16]

deux triangles de surface identiques ne sont pas forcément des triangles identiques.

est-ce que tu as une figure qui te donne une particularité sur le triangle (isocèle, rectangle... ) ?

[Lostounet]

Bonsoir,
Attention: ce n'est pas parce que les trois cotés sont tangents au cercle inscrit que tu tombes forcément sur le bon triangle: tu peux tracer une infinité de triangles différents avec ce même cercle inscrit. Mais peu d'entre eux auront un périmètre et une surface donnée...

deux triangles de surface identiques ne sont pas forcément des triangles identiques.

est-ce que tu as une figure qui te donne une particularité sur le triangle (isocèle, rectangle... ) ?

Il est clair que connaître seulement le périmètre d'un triangle n'est pas suffisant pour retrouver les trois cotés: c'est facile à voir.
Aussi, comme le dit Pascal, deux triangles de surface identique ne sont pas forcément identiques, donc n'ont pas forcément les cotés égaux...

Après, on peut se demander (ce qui semble être le but de l'exercice), si connaître à la fois l'aire et le périmètre en même temps permet de trouver a, b et c (les trois longueurs). D'ailleurs, il semblerait qu'ils aient tous le même rayon pour le cercle inscrit (vu la formule que tu cites)!

Et la réponse est... non.

Par exemple, on peut déjà rappeler la formule de Héron qui stipule que avec p le demi-périmètre de triangle.. Or cette formule indique par exemple que les triangles de cotés 25,34,39 et 29,29,40 (par exemple) ont même périmètre mais aussi même aire... et ces triangles sont bien différents (et même, on peut avoir un troisième candidat 24,37,37).

Donc ce qu'on pourrait chercher à faire (peut-être pas la manière la plus élégante, ni celle demandée par l'énoncé directement), c'est essayer d'exprimer deux cotés du triangle (par exemple a et b) en fonction de p et c. Pour chaque c que tu choisis (donc tu traces une tangente au cercle et tu fixes la longueur du segment c que tu choisis), tu auras la possibilité d'exprimer a et b en fonction de ce c, et donc de tracer un bon candidat.

Sauf erreur de ma part, cela se fait assez bien à l'aide de la formule de Héron à l'aide d'un petit changement d'inconnues.

[danyL]

Soit ABC un triangle de surface 15cm² de périmètre 11cm et son cercle inscrit (C) de rayon r et de centre O

1) On sait que S=r*P*1/2
Donc r=2S/P=30/11cm

d'après l'énoncé 15 cm² est la surface du triangle et pas la surface du cercle inscrit
de même pour le périmètre de 11 cm

[Lostounet]

Soit ABC un triangle de surface 15cm² de périmètre 11cm et son cercle inscrit (C) de rayon r et de centre O

1) On sait que S=r*P*1/2
Donc r=2S/P=30/11cm

d'après l'énoncé 15 cm² est la surface du triangle et pas la surface du cercle inscrit
de même pour le périmètre de 11 cm

Son calcul me semble correct, puisqu'on a la relation métrique rp/2 = s (liant le rayon du cercle inscrit, le périmètre et la surface du triangle).

[danyL]

ah ok dsl je pensais que c'était une erreur

[chan79]

Salut
Pour un périmètre donné, c'est le triangle équilatéral qui a l'aire maximale.
Avec un périmètre de 11 cm, l'aire maximale est soit environ 5.82 cm²
Aucune chance d'avoir une aire de 15 cm²

[oumanipapa1964]

Merci à tous pour vos réponse.

[Lostounet]

Salut
Pour un périmètre donné, c'est le triangle équilatéral qui a l'aire maximale.
(...)
Aucune chance d'avoir une aire de 15 cm²

Bien vu Chan !
J'avais pas fait gaffe.

Mais si l'énoncé était posé avec un périmètre P et S fixés et qui conviennent, la question reste intéressante.

[oumanipapa1964]

Salut
Pour un périmètre donné, c'est le triangle équilatéral qui a l'aire maximale.
Avec un périmètre de 11, l'aire maximale est soit environ 5.82 cm²
Aucune chance d'avoir une aire de 15 cm²

Je m'en doutais. Ilest donc impossible de faire une telle construction c'est cela?
On nous demande donc de faire quelque chose d'impossible

[chan79]

Comme le dit Lostounet, le truc est quand même intéressant.
Avec un périmètre de 11 cm et une aire de 3 cm² et en prenant 4 cm pour un des côtés, on peut en obtenir un.
(calculs avec la formule de Héron)
Les deux autres côtés font et

Pour une construction en commençant par le cercle inscrit ... ?

[Pseuda]

Comme le dit Lostounet, le truc est quand même intéressant.
Avec un périmètre de 11 cm et une aire de 3 cm² et en prenant 4 cm pour un des côtés, on peut en obtenir un.
(calculs avec la formule de Héron)
Les deux autres côtés font et

Pour une construction en commençant par le cercle inscrit ... ?

Bonjour,

D'après ce que dit Lostounet, il suffit de choisir arbitrairement la longueur d'un des côtés du triangle et sa position par rapport au point de tangence de façon à ce que le triangle soit constructible (conditions connaissant le périmètre et le rayon du cercle inscrit ?) et on construit les 2 autres côtés par tangence (méthode classique).

[chan79]

il suffit de choisir arbitrairement la longueur d'un des côtés du triangle et sa position par rapport au point de tangence de façon à ce que le triangle soit constructible (conditions connaissant le périmètre et le rayon du cercle inscrit ?) et on construit les 2 autres côtés par tangence (méthode classique).

Ca n'a pas l'air de coller ...

[Lostounet]

il suffit de choisir arbitrairement la longueur d'un des côtés du triangle et sa position par rapport au point de tangence de façon à ce que le triangle soit constructible (conditions connaissant le périmètre et le rayon du cercle inscrit ?) et on construit les 2 autres côtés par tangence (méthode classique).

Ca n'a pas l'air de coller ...

Salut Chan, pourquoi?

Si on prend 25,34,39 (par exemple), je commence par tracer c = 39

Je positionne un des sommets du triangle de Gergonne/points de contact, qui est distant de A:

Où a est obtenu avec Héron (c'est une fonction de c et p)

Le rayon du cercle inscrit vaut r = 840/(83)=10.120..

[chan79]

OK Lostounet