La constance d’apéry

[Odry]

Bonjour,
Je bloque sur un exercice pouvez vous m’aider
L’énoncé de mon exercice est le suivant : soit (Un) la suite définie pour tout entier n>=1
Somme= 1/1^3 +...+1/2^3+...+1/n^3

1) Montrer que la suite Un est croissante

2) a/ pour tout entier n>= 1, démontrer que
1/n -( 1/n+1) = 1/n(n+1) puis que -1/n+ (1/(n+3)^3)

b) montrer par récurrence que pour tout entier n>= 1:
Un =<2- (1/n)

3) En déduire que la suite un est convergente

Je pense avoir tout réussi, mais je bloque pour la deuxième partie de la question 2 a

Merci beaucoup, bien cordialement

[Pisigma]

Bonsoir,

2) a/ pour tout entier n>= 1, démontrer que
1/n -( 1/n+1) = 1/n(n+1) puis que -1/n+ (1/(n+3)^3)=???

je crois qu'il manque quelque chose

[Odry]

Ah oui merci
-1/n+ (1/(n+3)^3) >= -1/(n+1)

[Sa Majesté]

Ah oui merci
-1/n+ (1/(n+3)^3) >= -1/(n+1)

Ce ne serait pas plutôt -1/n+ (1/(n+1)^3) < = -1/(n+1) ?

[Odry]

Ah oui merci
-1/n+ (1/(n+3)^3) >= -1/(n+1)

Ce ne serait pas plutôt -1/n+ (1/(n+1)^3) < = -1/(n+1) ?

Si effectivement, C’est une erreur de ma part je suis désolée, c’est bien :
-1/n+ (1/(n+1)^3) =< -1/(n+1)

[Pisigma]

tu dois résoudre l'inéquation

[Odry]

tu dois résoudre l'inéquation

Oui c’est ce que j’avais commencé à faire, j’ai même repris la réponse de la première partie de la question j’ai changé tous les signes et j’ai réussi à avoir :
1/n(n+1) - 1/(n+1)^3 =< 0

Mais après j’ai fait les inverses et j’ai factorisé sauf que je tombe sur une première inégalité n >= -1 mais pour la deuxième (n-(n+1)^2) je bloque. Et que je pense m’éloigner de la réponse

[Pisigma]

il suffit de réduire au même dénominateur et regrouper les termes au numérateur

[Pisigma]

petite coquille!!

[Odry]

il suffit de réduire au même dénominateur et regrouper les termes au numérateur

Doit on faire :

-1/n(n+1) +1/(n+1)^3 <= 0
- ((n+1)^3) + (n(n+1)) / n(n+1)^4 <= 0
- (1 +n(n+1)) / n(n+1). <= 0
-1(n-1) /(n+1) <= 0
-n-1 <= 0
n<= -1

??? Je ne suis pas du tout sûre du raisonnement après l’étape de la remise au dénominateur et numérateur

[Pisigma]

en repartant de



le dénominateur commun est

[Odry]

en repartant de



le dénominateur commun est

Désolé je n’ai toujours pas compris pourquoi le dénominateur serait n(n+1)^3 et comment accéder à l’étape suivante ? Doit-on multiplier le numérateur par n(n+1)^3

[Pisigma]

ben quel est le dénominateur commun de :

[Odry]

ben quel est le dénominateur commun de :

On fait fois x en haut et en bas de 1/x^2

Mais du coup dans notre inégalité je fais * n à 1/(n+1)^3 et *(n+1)^2 à n(n+1)

On obtient : ?

-(n+1)^2+ n / n(n+1)^3 =< 0

-n^2 -3n +1 / n (n+1) ^3 =<0

Mais après je ne sais pas si c’est bon et si après je dois passer le dénominateur à droite ... ?

[Pisigma]

tu t'es trompé(e) dans le développement

tu n'as jamais étudié les inéquations qui sont sous la forme de fraction?





ensuite multiplie par -1 et étudie le signe de la fraction sans oublier les hypothèses de départ

[Odry]

tu t'es trompé(e) dans le développement

tu n'as jamais étudié les inéquations qui sont sous la forme de fraction?





ensuite multiplie par -1 et étudie le signe de la
fraction sans oublier les hypothèses de
départ

? Comme cela :

n-n^2 -2n -1 / n(n+1) ^3
-n^2 -n -1 / n(n+1)^3
( et puis delta en haut ? —> pas de solution et on résoud n(n+1)^3 =< 0. —> n<=0 donc pas de solutions ???)

Je suis désolée mais je n’ai toujours pas compris

[Pisigma]

tu n'as pas répondu à ma question ni multiplié par -1 ni tenu compte des hypothèses de départ

[Odry]

tu n'as pas répondu à ma question ni multiplié par -1 ni tenu compte des hypothèses de départ

Non je ne pense pas avoir déjà étudié cela j’ai essayer avec. Toutes les méthodes que je connaissais, aucune n’a aboutie au résultat.

Je n’ai pas compris ce qui fallait multiplier par -1 et les hypothèse de départ sont :
n>=1
-1/n + 1/(n+1)^3 =< -1/(n+1)

?

[Pisigma]

si tu étudies en France, je suis pratiquement sûr que tu as étudié la résolution des inéquations avec fraction mais bon...







multiplie par -1 et étudie le signe de la fraction sans oublier que

[Odry]

si tu étudies en France, je suis pratiquement sûr que tu as étudié la résolution des inéquations avec fraction mais bon...







multiplie par -1 et étudie le signe de la fraction

sans oublier que

-(-n^2 -n -1) / -n(n+1) =<0
-n^2 -n +1 / -n(n+1) =< 0
Or n>=1 donc (-n^2 -> négatif , -n -> négatif, 1-> positif)
(n+1)-> positif
Donc
Numérateur : positif
Dénominateur : négatif
Fraction négative
?

Mais on ne dois pas trouver une inégalité du type n<>= ... ?