Conjectures et Asymptote

[Trapnest]

Bonjour, je suis tout nouveau sur ce forum, et poste ce message pour la même raison que beaucoup d'une ici, c'est à dire que je sèche complètement sur un DM. Je suis en 1ère S(si).

Mon problème n'est pas un soucis classique de calcul, mais une conjecture que l'on me demande de tirer à partir d'une situation donnée, et que je ne vois pas du tout...

Voici l’énoncé de mon devoir :



Ainsi que mon travail sur tableur :



Et enfin les petits morceaux de pistes pas très pertinents que j'ai trouvé ces deux dernières heures... :

_Ch est au dessus de Cg, sur R*+ car Ch = Cg + (1/x) avec x € ]0;+inf[

_Ch et Cg sont des asymptotes : Lorsque x tend vers 0, h(x) - g(x) tend vers x c'est à dire 0
(cette conjecture est illustrée par les points sur les courbes)

_Comme f(x) = x, la distance h(x)-g(x) vaut f(x) c'est à dire x

_f(x)*g(x) = 1


Mais tout cela me parait tellement évident que je ne pense pas que l'une de ces phrases soit la conjecture attendue par mon prof...

Je pense pouvoir m'en sortir pour la démonstration et la généralisation, mais je ne vois même pas ce que l'on me demande de démontrer/généraliser, alors forcément... J'ai besoin de vous ! Et merci d'avance. :we:

[chan79]

Bonjour, je suis tout nouveau sur ce forum, et poste ce message pour la même raison que beaucoup d'une ici, c'est à dire que je sèche complètement sur un DM. Je suis en 1ère S(si).

Mon problème n'est pas un soucis classique de calcul, mais une conjecture que l'on me demande de tirer à partir d'une situation donnée, et que je ne vois pas du tout...

Voici l’énoncé de mon devoir :



Ainsi que mon travail sur tableur :



Et enfin les petits morceaux de pistes pas très pertinents que j'ai trouvé ces deux dernières heures... :

_Ch est au dessus de Cg, sur R*+ car Ch = Cg + (1/x) avec x € ]0;+inf[

_Ch et Cg sont des asymptotes : Lorsque x tend vers 0, h(x) - g(x) tend vers x c'est à dire 0
(cette conjecture est illustrée par les points sur les courbes)

_Comme f(x) = x, la distance h(x)-g(x) vaut f(x) c'est à dire x

_f(x)*g(x) = 1


Mais tout cela me parait tellement évident que je ne pense pas que l'une de ces phrases soit la conjecture attendue par mon prof...

Je pense pouvoir m'en sortir pour la démonstration et la généralisation, mais je ne vois même pas ce que l'on me demande de démontrer/généraliser, alors forcément... J'ai besoin de vous ! Et merci d'avance. :we:

salut
d'après la courbe, il semble que h(x) est minimum pour quelle valeur de x ?

[Trapnest]

Bonjour ! Eh bien, d'après la courbe, h(x) est minimum pour x = 1, ce qui est logique puisque c'est le point d'intersection entre f et g !

[chan79]

Bonjour ! Eh bien, d'après la courbe, h(x) est minimum pour x = 1, ce qui est logique puisque c'est le point d'intersection entre f et g !

oui, mais c'est bien ce qu'il faut démontrer ensuite
h(1)=1+1/1=2
Montre que si x est différent de 1 ( et strictement positif) alors on a: x+1/x>2
Fais tout passer à gauche et réduis au même dénominateur
Il faut peut-être conjecturer sur les courbes de f et g l'une par rapport à l'autre.
En tous cas, la courbe de h est bien au-dessus des deux autres, comme tu le dis

[Trapnest]

Merci, je crois que je commence à saisir, voici ce que j'ai écrit :

L'abscisse du minimum de h est de 1, qui est aussi l'abscisse du point d'intersection entre Cf et Cg.

On suppose donc que h(x) prend sa plus petite valeur, c'est à dire 2x, pour f(x) = g(x), donc lorsque Cf croise Cg.

Pour la démonstration :

x+(1/x) > 2x
x+(1/x)-2x > 0
-x + (1/x) > 0
-x > -(1/x)
x² > 1
x > 1

Et puis dans l'autre sens... Ca marche ? Pas d'erreur de calcul ?


Edit : Ce que j'ai écrit au dessus est complètement faux...

[Trapnest]

J'ai établi une nouvelle conjecture :

f(x) étant croissante et g(x) décroissante sur R+*, la valeur du minimum de la courbe Ch, représentative de la fonction h(x) = f(x)+g(x) est la valeur pour laquelle g(x)-f(x) = 0.

En revanche, ta piste, chan79, m'intéresse, celle de l'inéquation je veux dire, mais je n'arrive pas à en tirer quelque chose qui tient la route...

[chan79]

J'ai établi une nouvelle conjecture :

f(x) étant croissante et g(x) décroissante sur R+*, la valeur du minimum de la courbe Ch, représentative de la fonction h(x) = f(x)+g(x) est la valeur pour laquelle g(x)-f(x) = 0.

En revanche, ta piste, chan79, m'intéresse, celle de l'inéquation je veux dire, mais je n'arrive pas à en tirer quelque chose qui tient la route...

équivaut à

car x est positif (on multiplie par x de chaque côté)



Ca doit te rappeler quelque chose ...

[Trapnest]

Bien sur, second degré, je m'étais trompé en mettant directement 2x au lieu de 2 !
Et bien sur, delta = 0, et Xo = 1 !
Donc x+(1/x) > 2 sauf pour x = 1 !

[chan79]

Bien sur, second degré, je m'étais trompé en mettant directement 2x au lieu de 2 !
Et bien sur, delta = 0, et Xo = 1 !
Donc x+(1/x) > 2 sauf pour x = 1 !

x²-2x+1=(x-1)² et les carrés sont positifs

[Trapnest]

Merci pour ton aide !
Je termine le 3 samedi en mettant de l'ordre dans tout ça, puis je posterai mes réponses !
Bonne soirée !