Conjecturer une suite

par **sweety07** » 30 Jan 2010, 20:47

bonsoir,

j'ai un peu de mal avec cet exercice:

On considère la suite définie par U0 = 2 et, pour tout entier naturel n Un+1 = -Un² + 2Un + 1
Conjecturer une propriété de la suite (Un), puis démontrer cette propriété par récurrence.

J'ai calculeé les termes successifs de la suite et je trouve U0 = 2 U1 = 1 U2 = 2 U3 = 1 U4 = 2 etc...
on peut donc voir que:
pour tout n pair on a "2" un chiffre pair,
pour tout n impair on a "1" un chiffre impair
Le pb, j'ai essayé plein de formules, mais je n'arrive pas à trouver Un en fonction de n :s

Merci de votre aide !

par **Sa Majesté** » 30 Jan 2010, 20:53

Salut

Rien ne t'oblige à trouver une formule générale
Tu peux dire

et

Maintenant si tu veux vraiment une formule générale alors en voici une

par **sweety07** » 30 Jan 2010, 21:06

ok mais lorsqu'il faudra démontrer par récurrence, il faut que je fasse P(0) et
P(n+1) avec Un.
Mais avec le deux premières formules, comment on fait ?

par **Sa Majesté** » 30 Jan 2010, 21:13

Tu as 2 possibilités

Soit tu choisis pour propriété de récurrence

et

Auquel cas, l'initialisation se fait avec

et

Et l'hérédité se fait en supposant que

et

et en montrant que

et

Soit tu choisis pour propriété de récurrence

Auquel cas, l'initialisation se fait avec

Et l'hérédité se fait en supposant que

et en montrant que

par **sweety07** » 30 Jan 2010, 21:16

D'accord. Mais dans le premier cas, pourquoi fait-on une initialisation avec U1 ?

par **Sa Majesté** » 30 Jan 2010, 21:25

Parce que la propriété de récurrence est P(n) :

et

La propriété porte sur 2 termes

Donc pour vérifier P(0), il faut vérifier que

et

Si tu trouves ça trop compliqué tu peux faire 2 récurrences disjointes
P(n) :

Tu initialises avec

Et tu montres que si

alors

Ce qui prouve la 1ère récurrence

Et ensuite tu fais la 2ème récurrence
Q(n) :

par **sweety07** » 30 Jan 2010, 21:31

Et lors de la 2ème récurrence, j'initialise avec U1 ou avec U0 ?

par **Sa Majesté** » 30 Jan 2010, 21:48

sweety07 a écrit:Et lors de la 2ème récurrence, j'initialise avec U1 ou avec U0 ?

Réfléchis un peu ... :zen:

par **sweety07** » 30 Jan 2010, 21:50

Hmm.. j'initialiserai avec U(0) sa me fait U(2*0+1) = 1

par **Sa Majesté** » 30 Jan 2010, 21:54

Oui
La 2ème récurrence étant Q(n) :

L'initialisation se fait avec Q(0) :

par **sweety07** » 30 Jan 2010, 22:13

d'accord merci beaucoup !

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