Conjecturer et recurrence

par **sasafca** » 14 Sep 2010, 18:14

Bonsoir à tous,

voila je bloque sur un exercice et j'aimerai bien que l'on m'éclaircisse un peu.

Voici l'énoncé:

On considère la suite (Un) définie par Uo = 1 et pour tout entier naturel n par Un_+1 = 10Un - 9n - 8

1)Calculer de U1 à U4
2)Conjecturer une expression de Un en fonction de n.
3)Démontrer cette conjecture par récurrence

Pour la question 1) je trouve:
U1= -7
U2= -96
U3= -995
U4= -99993

Mais je bloque sur les deux autres questions.

Merci de m'aider.

par **MacManus** » 14 Sep 2010, 18:20

Bonjour.

, avec

tes calculs sont faux !
moi je trouve par exemple

par **sasafca** » 14 Sep 2010, 18:26

Un+1 = 10 Un - 9n -8

Uo=1

U1= 10xUo - 9x1 -8
U1= 10 - 9 -8
U1= -7

J'ai effectué ceci.

U1= 10xUo - 9x0 -8
U1=10-8
U1=2

C'est votre calcul ?

Merci de me confirmer si c'est bien cela, et de m'aider pour les questions 2 et 3.

Encore merci !

par **MacManus** » 14 Sep 2010, 18:32

sasafca a écrit:U1= 10xUo - 9x0 -8
U1=10-8
U1=2

C'est votre calcul ?

Oui !

x

par **sasafca** » 14 Sep 2010, 18:37

D'accord merci !

Et pour les 2 autres questions vous avez une idée, car je bloque vraiment :S

par **MacManus** » 14 Sep 2010, 18:46

Que trouves-tu pour u2, u3 et u4 ?

par **sasafca** » 14 Sep 2010, 18:47

MacManus a écrit:Que trouves-tu pour u2, u3 et u4 ?

Pour U2=3 U3=4 U4=5 ...

Un=n+1

Donc c'est bon j'y suis arrivé.
Merci pour votre aide !!

par **MacManus** » 14 Sep 2010, 18:50

Oui c'est ça :

C'est une suite arithmétique de raison

:

par **sasafca** » 14 Sep 2010, 18:55

MacManus a écrit:Oui c'est ça :
C'est une suite arithmétique de raison :

Cependant, je dois prouver mon résultat par récurrence.
J'ai fait la phase d'initiation, mais je ne sais pas de quoi partir pour l'hérédité.
Je sais que pour montrer légalité on part de Un+1=... mais je ne sais pas qu'elle est l'hypothèse de récurrence ni ce que je dois mettre à la place des ...

Merci de me donner un dernier coup de pouce ^^

PS: est ce que Un+1= Un+1 + 1 est égale à Un+2?

Car j'ai fait, Un= n + 1 alors montrons que Un+1= Un+1 + 1

Un+1= 10Un-9n-8 = 10(n +1)-9n-8 = n + 2

Soit Un+1 = n+2

Est-ce bon ?

par **MacManus** » 14 Sep 2010, 19:07

C'est important effectivement de bien maîtriser les étapes dans une démonstrations par réccurence :

initialisation

(pas de pb)

hérédité
On suppose la relation

vraie pour un certain entier k : c'est notre hypothèse de récurrence. Il faut montrer que cette propriété est également vraie au rang k+1. C'est-à-dire que l'on veut montrer que

. On sait aussi que

. Tu peux donc remplacer

par

dans

. Ok ??

par **sasafca** » 14 Sep 2010, 19:12

MacManus a écrit:C'est important effectivement de bien maîtriser les étapes dans une démonstrations par réccurence :

initialisation
(pas de pb)

hérédité
On suppose la relation vraie pour un certain entier k : c'est notre hypothèse de récurrence. Il faut montrer que cette propriété est également vraie au rang k+1. C'est-à-dire que l'on veut montrer que . On sait aussi que . Tu peux donc remplacer par dans . Ok ??

Vous trouvez donc Uk+1= k+2 comme moi ?
Il faut donc bien que je mette Uk+1= Uo + (k+1) ou ma méthode marche aussi ?

Encore merci !

par **MacManus** » 14 Sep 2010, 19:15

Oui tu y est !

(car

)

par **sasafca** » 14 Sep 2010, 19:16

MacManus a écrit:Oui tu y est !

(car )

C'est bon !!

Encore merci pour votre aide !!!

Bonne soirée !

par **MacManus** » 14 Sep 2010, 19:18

Merci. Bonne soirée!

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