Congruences

[handicapéeducalcul]

Bonjour les matheux :ptdr:

Je suis en train de m'arracher les cheveux depuis plus de 2 jours sur mon DM de spé :mur: et j'aurai besoin d'un regard neuf et de pistes de recherches ainsi que des explications pour les exercices suivants. :help: J'ai mis en gras les énoncés et en italique les résultats auxquels j'arrive.


Exercice 1
Dans toute la suite, k est un entier naturel.
1. a. Montrer que : 2^(6k+1) 2 [9]
b. En déduire que 2^(6k+2) peut s’écrire : 18t + 4, avec t Z.
2. Etablir que : 19 2^(2^(6k+2)) + 3, en utilisant des congruences modulo 19.

2^(6) 1 [9]
2^(6k) 1^(k) [9]
2^(6k) + 2^(1) 1^(k) + 2^(1) [9]
2^(6k+1) 2 [9]
:wrong:


Exercice 2
1) Montrer l’équivalence : 8n 3 8 3n + 1
2) a) Déterminer, suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de 7n par 8.
b) On suppose que n vérifie : 8 7^(n) × n + 4n + 1. Montrer successivement que :
I - n est impair.
II - 7^(n) × n + 4n + 1 3n + 1 [8]
III - il existe un entier naturel k tel que n = 8k + 5

1) n + 3 3n + 1 [8]
I - n est impair car :
* 8 est pair donc 7^(n) × n + 4n + 1 est pair.
* Or 1 est impair, 4n est pair est que 7 est impair donc toutes ses puissances aussi donc n est impair.



Exercice 3 : Le lemme d’Euclide
(selon la démonstration de K.F. Gauss dans les Disquisitiones arithmeticae)
1) Soient a et b deux entiers de l’intervalle [1, p 1] . Le nombre p est premier. Le but de cette question est de prouver que p ne divise pas le produit ab, en raisonnant par l’absurde. On fixe a dans [1, p 1] et on suppose que l’ensemble I = { b [1, p 1] tel que : p ab } est non vide.
Soit alors b0 le plus petit élément de I. On désigne par r le reste de la division euclidienne de p par b;).
a) Justifier que : ab;) 0 [p]
b) Montrer que : r I et que ar 0 [p]
c) En déduire que r = 0 et conclure.
2) On considère à présent deux entiers quelconques a' et b' non multiples de p.En utilisant les restes des divisions euclidiennes de a' et b' par p, prouver que p ne divise pas a'b'
3) Démontrer le lemme d’Euclide : «Si un nombre premier p divise un produit x.y et si p est premier avec x, alors p divise y.»
Autre formulation : si x;)y 0 [p] et si p est premier avec x, alors : y 0 [p]. [p]

Je pense que pour cet exercice il faut utiliser la propriété caractéristique : deux entiers a et b sont congrus modulo n si et seulement si ils ont le même reste dans la division euclidienne pas n. ainsi que la propriété : tout nombre a est congru à son reste r dasn la division euclidienne par n.


Merci d'avance :lol3:

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

Bon ben l'exo 1 est faux et non fini, car il faut que tu retiennes que pour a, x et y réels.

PS : ton pseudo est marrant

[handicapéeducalcul]

Oups, l'erreur :mur: ce serait plutôt /
2^(6k) x 2 ;) 1^(k) x 2 [9]

Ps : c'est ma prof de maths qui m'a donné ce surnom.

[Kikoo <3 Bieber]

Oups, l'erreur :mur: ce serait plutôt /
2^(6k) x 2 1^(k) x 2 [9]

Ps : c'est ma prof de maths qui m'a donné ce surnom.

Ouaip et 1^k=1 mod n, pour tout n entier.

Ah bon ben du coup c'est moins sympa ^^ La mienne me disait que je suis un étourdi, mais avec un petit sourire ça change tout !

[k000nox]

Si ta 2^k+1 congru a 2 modulo 9 alors :

2^k+1 - 2 = 9t , t dans Z
Donc en x par 2 tu trouve bien ce que tu cherche .

pour le 3 du 1) Avec le petit theoreme de fermat ca devrais allez je pense :)