DM congruences (TS spé)

[maddie]

Bonjour à toi aussi !!

J'ai un dm de spé et je pensais m'en sortir mais je suis totalement perdue. Voilà le sujet:

1) Déterminer, suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division euclidienne de par 7.
2) En déduire les restes de la division euclidienne par 7 des entiers suivants :
a.
b.

J'ai commencé par faire:
-> reste: 1
-> reste: 3
-> reste: 2
-> reste: 6 (ou -1?)
-> reste: 4
-> reste: 5
-> reste: 1

Notre professeur nous avait conseillé de trouver en reste 1 ou -1 comme base mais à partir de là je suis bloquée et j'aurai besoin d'un petit coup de pouce pour continuer. Merci d'avance (:

[mathelot]

woaaw.perdue !!!

bonjour,

grosso modo:

la classe résiduelle de l'entier relatif x modulo 7
est le reste de la division euclidienne de x par 7.

Ces restes ont des propriétés arithmétiques extraordinaires
découvertes par Karl-Friedrich Gauss au 18ème.

avoir le même reste est une relation d'équivalence.
tous les entiers d'une même classe sont alors indistinguables

on définit une addition sur les classes
si on note la classe de x alors



par exemple
le reste de 30 par 7 est 2
le reste de 25 par 7 est 4
le reste de 30+25 par 7 est 6 = 4+2

si la somme des restes avait dépassé 6, on aurait réduit cette somme 4+2
en considérant son reste dans la division par 7.

[maturin]

suivant tes calculs tu peux voir que ça va boucler à partir de 6, essaie de le ddémontrer:

soit r(n) le reste de ta division euclidienne de 3^n par 7.
Calcule r(n+6) en fonction de r(n)

[mathelot]

pour comprendre les congruences , deux aspects:

l'aspect théorique:

q et r sont le quotient et le reste de la division de a par b si et seulement si


avec

avec cette définition, on démontre tout.

aspect pratique

dans tout calcul avec addition , soustraction, multiplication
on peut remplacer un nombre par son résidu, ie,
son reste dans la division par 7.

pour la division, c'est plus compliqué. il faut que le dénominateur soit premier avec 7, sinon on ne peut pas diviser par une classe (de congruence).

exemple:

on divise par 5
car 5 et 7 sont premiers entre eux.

[maddie]

= 7 x 104 + 1 donc ?

[maturin]

oui mais ça tu l'as déjà dit

-> reste: 1

et que vaut le reste e la div de 3^(n+6) par 7 ?

[maddie]

-> r = 3
2
6
4
5
1

[maddie]

j'ai essayé autre chose



- soit n un entier naturel. on effectue la division euclidienne de n par 6
n = 6k + r où k élément de N et 0 6 donc c'est impossible......
donc je suis bloquée

[maturin]

Si tu pars de où r_n est le reste de ta division
Et de que tu as déjà montrer (ce qui veut dire avec ma définition de )

Ecris
donc

Donc si tu connais tes 5 premiers termes après ça boucle.

Avec les formules de mathelot ca va encore plus vite à écrire.