Congruences et divisibilité

[cln]

Bonjour est ce que quelqu'un peut m'aider svp. Je dois rendre mon dm demain et je suis complètement bloqué. merci.

Sujet:

On considere les suites x et y définies par x0=1 et y0=8 et pour tout n appartenat à N

Xn+1=(7/3)xn+(1/3)yn+1
Yn+1=(20/3)xn+(8/3)yn+5

1) Montrer par recurrence que tous les points Mn de coordonées (xn;yn) sont sur la droite D d'équation 5x-y+3=0. En déduire que Xn+1=4xn+2
2)Montrer que tous les xn sont des entiers naturels. En déduire que les yn le sont aussi.
3)Montrer que si 5x :\equiv: 0[3] alors x :\equiv: 0[3].
4) En déduire que xn est divisible par 3, xn et yn ont pour seul diviseur commun positif.
5) Montrer que xn=(1/3)(4^n*5-2)
6) En déduire que 4^n*5-2 est multiple de 3.
7) Proposer deux autres méthodes pour prouver le 6).

[Manny06]

Bonjour est ce que quelqu'un peut m'aider svp. Je dois rendre mon dm demain et je suis complètement bloqué. merci.

Sujet:

On considere les suites x et y définies par x0=1 et y0=8 et pour tout n appartenat à N

Xn+1=(7/3)xn+(1/3)yn+1
Yn+1=(20/3)xn+(8/3)yn+5

1) Montrer par recurrence que tous les points Mn de coordonées (xn;yn) sont sur la droite D d'équation 5x-y+3=0. En déduire que Xn+1=4xn+2
2)Montrer que tous les xn sont des entiers naturels. En déduire que les yn le sont aussi.
3)Montrer que si 5x :\equiv: 0[3] alors x :\equiv: 0[3].
4) En déduire que xn est divisible par 3, xn et yn ont pour seul diviseur commun positif.
5) Montrer que xn=(1/3)(4^n*5-2)
6) En déduire que 4^n*5-2 est multiple de 3.
7) Proposer deux autres méthodes pour prouver le 6).

où bloques-tu ?

[cln]

[quote="Manny06"]où bloques-tu ?[
A partir de la deuxieme question

[Manny06]

où bloques-tu ?[
A partir de la deuxieme question

à partir de Xn+1=4Xn +2 et X0=1 tu peux montrer par récurrence que Xn est un entier naturel
puis avec Yn= 5Xn +3 en déduire que Yn est un entier naturel

[cln]

à partir de Xn+1=4Xn +2 et X0=1 tu peux montrer par récurrence que Xn est un entier naturel
puis avec Yn= 5Xn +3 en déduire que Yn est un entier naturel

c'est bon après la 3) je fais comment?

[Manny06]

c'est bon après la 3) je fais comment?

applique le théorème de Gauss

[cln]

applique le théorème de Gauss

comment

[Manny06]

comment

si a divise bc et est premier avec b alors a divise c

[cln]

si a divise bc et est premier avec b alors a divise c

c bon après

[Manny06]

c bon après

récris moi la question 4) car je ne comprends pas très bien l'enoncé

[cln]

récris moi la question 4) car je ne comprends pas très bien l'enoncé

En déduire que xn est divisible par si et seulement si yn est divisible par 3
4b) Montrer que si xn n'est pas divisible par 3 , xn et yn ont 1 pour seul diviseur comun positif

[Manny06]

En déduire que xn est divisible par si et seulement si yn est divisible par 3
4b) Montrer que si xn n'est pas divisible par 3 , xn et yn ont 1 pour seul diviseur comun positif

utilise la relation yn=5xn +3
pars de yn divisible par 3 et raisonne par equivalences

ensuite toujours avec la même relation montre que si d divise xn et yn d divise 3

[cln]

utilise la relation yn=5xn +3
pars de yn divisible par 3 et raisonne par equivalences

ensuite toujours avec la même relation montre que si d divise xn et yn d divise 3

ok